Распределение фермионов по энергиям имеет вид

                                   .                                          (11)
Смысл входящих в (11) величин тот же, что и в (10). Распределение (11) называется распределением Ферми-Дирака.

Если , то распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана

                                              ,                                                    (12)
где . Таким образом, при малых числах заполнения () оба квантовых газа ведут себя подобно классическому газу.

Квантовый газ называется вырожденным, если числа заполнения сравнимы с единицей или больше ее (последнее возможно для бозе-газа). Вырожденный бозе-газ и ферми-газ существенно отличаются друг от друга и в свою очередь от идеального газа. Так в вырожденном бозе-газе при понижении температуры происходит бозе-конденса­ция, когда на нижний энергетический уровень переходит большое число частиц. Бозе-конденсацией объясняются такие явления как сверхтекучесть и сверхпроводимость.

Вырождение газов наступает при понижении температуры и/или повышении плотности газа. В качестве параметра вырождения квантового газа используется температура , при которой . Эта характеристическая температура называется температурой вырождения.

Фотонный газ. Согласно квантовым представлениям тепловое излучение можно рассматривать как равновесный газ фотонов. Спин фотона равен единице, и поэтому, фотоны являются бозе-газом и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Так как фотоны непрерывно излучаются и вновь поглощаются стенками полости, то полное число фотонов не фиксировано. Это означает, что химический потенциал фотонов равен нулю и распределение фотонов по энергиям имеет вид

                                        .
Для определения внутренней энергии и полного числа фотонов требуется определить плотность состояний. Воспользуемся общим правилом, согласно которому число одночастичных квантовых состояний – орбиталей, приходящихся на шестимерный фазовый объем , равно

                                           .
Для фотонов  и . Число орбиталей, приходящихся на частотный интервал d w, очевидно равно , где  – спектральная плотность орбиталей. Множитель 2 учитывает две поляризации фотона. Для спектральной плотности энергии излучения  найдем

                               .                                       (1)
Соотношение (1) есть формула Планка. Таким образом, статистика Бозе-Эйнштейна для фотонного газа приводит к законам теплового излучения (формуле Планка и др.).

Фононы. Теплоемкость кристалла. Тепловое движение кристаллов во многих отношениях напоминает равновесное электромагнитное излучение. Это связано с тем, что движение атомов при малых отклонениях от положения равновесия может рассматриваться как набор гармонических колебаний. Так как колебания атомов являются, благодаря сильному взаимодействию, связанными, то тепловое движение решетки кристалла представляет собой суперпозицию упругих монохроматических волн с разными частотами и направлениями распространения.

Как и для электромагнитной волны, импульс и энергия упругой волны связаны соотношением , где c – скорость звука. Однако между ними есть и различия. Электромагнитные волны поперечны и обладают двумя независимыми поляризациями. Волны в кристалле могут быть как поперечными, с двумя независимыми поляризациями, так и продольными. Кроме того, набор электромагнитных волн не ограничен по частотам и существуют волны со сколь угодно большими частотами. Для волн в кристалле из-за дискретности решетки длина волны не может быть меньше минимального расстояния между атомами. Следовательно, частоты колебаний решетки ограничены сверху и общее число различных волн в кристалле конечно.

Полное число различных колебаний равно , так как из полного числа степеней свободы 3 N надо вычесть три поступательные и три вращательные степени свободы твердого тела как целого; здесь N – атомов в кристалле. Классическая теория для внутренней энергии и теплоемкости твердого тела дает простые предсказания. Согласно закону равнораспределения каждая степень свободы колебательного движения вносит вклад, равный kT. Тогда для одного моля

                                 
и, следовательно,

                                       .                                                (2)
Это утверждение называется законом Дюлонга и Пти и для ряда веществ хорошо выполняется при комнатных температурах. Однако для некоторых кристаллов (например, для алмаза), закон Дюлонга и Пти нарушается уже при комнатных температурах, а при низких температурах теплоемкость любых кристаллов становится существенно меньшей, чем 3 R.

Для описания тепловых колебаний в решетке используется идея особых квантовых частиц – фононов. Так же как для фотонов, число фононов на орбитали не ограничивается. Следовательно, фононы подчиняются распределению Бозе-Эйнштей­на. Фононы непрерывно излучаются и поглощаются кристаллической решеткой, и поэтому химический потенциал фононного газа следует положить равным нулю.