Момент импульса свободного твердого тела, тензор инерции

Подобно тому, как масса тела может рассматриваться как коэффициент пропорциональности между скоростью его центра масс и его полным импульсом, может быть введен момент инерции как коэффициент пропорциональности между моментом импульса и угловой скоростью. Принципиальным отличием является то, что масса является скаляром, а момент инерции тензорной величиной, т. е. описывается с помощью симметричной относительно диагонали матрицы (таблицы из 9 чисел).

Момент импульса твердого тела в случае произвольно расположенного полюса может быть представлен как сумма моментов «орбитального» движения системы как целого и ее «спинового» движения, связанного с собственным вращением:

                  

В простейшем случае движения тела в пустом пространстве в отсутствии действия внешних сил согласно общим уравнениям движения (3.5) импульс тела сохраняется во времени и ускорение центра масс отсутствует. Это позволяет использовать инерциальную систему отсчета, связанную с центром масс, в которой полный момент импульса не содержит поступательной («орбитальной») компоненты:

                                    .                          (4.1)

Упрощая входящее в (4.2) двойное векторное произведение по формуле «ВАС – САВ»:

и покомпонентно расписывая векторы и их скалярные произведения:

 

, (4.2)

нетрудно убедиться в том, что каждая из компонент вектора момента импульса выражается в виде линейной комбинации составляющих вектора угловой скорости. Это означает, что связь между векторами J и ω имеет тензорный вид:

                                                   .                                         (4.3)

Входящий в соотношение (4.3), связывающее между собой момент импульса J и угловую скорость ω вращательного движения, момент инерции твердого тела является аналогом инертной массы M для случая поступательного движения, характеризуемого импульсом P и скоростью V. В отличие от скалярной массы момент инерции твердого тела является тензором и представляется не числом, а матрицей:

                                      (4.4)

Явный вид элементов матрицы тензора момента инерции получается в результате сопоставления соотношений (4.2) и (4.5):

    (4.5)

Для конкретных вычислений элементов матрицы (4.5) необходимо иметь математическое описание формы рассматриваемого тела и знать распределение плотности вещества по его объему. Важно отметить, что матрица (4.5) симметрична относительно ее диагонали, т.е. I _ij  = I _ji.

Использованная в (4.3) математическая операция действия матрицы на вектор выполняется по правилу «строка на столбец», согласно которому каждая составляющая результирующего вектора вычисляется как сумма произведений элементов одноименной строки матрицы на элементы столбца вектора, на который действует матрица:

 

,

то эквивалентно более компактной записи:

.

    Матрица с нулевыми недиагональными элементами (I_ξη = 0 при ξ ≠ η) называется диагональной.

 

Теорема 4.1. Теорема приведении симметричной матрицы к диагональному виду. Любая симметрическая матрица ортогональным преобразованием приводится к диагональному виду

 

Доказательство сформулированной теоремы дается в курсах линейной алгебры. В нашем конкретном случае Теорема 4.1 означает возможность такого поворота осей связанной с центром масс системы координат, в результате которого матрица (4.5) будет приведена к диагональному виду:

 

                    .          (4.4)

 

В случае диагональной матрицы тензора момента инерции связь между компонентами векторов J  и ω оказывается наиболее простой:

 

                                                .                                     (4.5)

Пример. Момент инерции прямоугольного параллелепипеда.
 Рассчитать матрицу тензора момента инерции однородного прямоугольного параллелепипеда массой M c заданными размерами, относительно изображенной на рис. 4.1 системы координат.

Рис.4.1. К примеру расчета момента инерции твердого тела

 

Решение. Плотность однородного тела вычисляется как отношение его массы к объему:

.

Элементы матрицы момента инерции тела вычисляются в соответствии с их определением. Например, первый диагональный элемент:

Значения двух других диагональных элементов матрицы получаются их найденного результата в результате циклической перестановки индексов x, y, z. Аналогичным расчетом показывается, что все недиагональные элементы искомой матрицы равны нулю. Таким образом в выбранной системе координат матрица тензора момента инерции данного тела диагональна:

.

Кинетическая энергия

Теорема 4.2. Теорема о кинетической энергии твердого тела. Кинетическая энергия твердого тела представима суммой кинетических энергий его поступательного и вращательного движений и равна: .                               (4.6)

Доказательство.  В соответствии с общим выражение для кинетической энергии системы материальных точек (1.15) кинетическая энергия твердого тела может быть разделена на два слагаемых, соответствующих энергиям поступательного движения и вращения:

                         (4.7)

В отличие от стандартной формы записи кинетической энергии твердого тела (4.6) результат вычислений (4.7) записан в виде, иллюстрирующем глубокую аналогию между уравнениями поступательного и вращательного движения. В случае явного задания компонент векторов и элементов матриц результат (10.7) может быть записан в виде:

                .      (4. 8)