Продольные волны в упругой среде

Продольные волны возникают из-за наличия возвращающих сил упругости, возникающих в растягиваемом или сжимаемом стержне (струне) (рис.12.5).

\

Рис. 6.5. Возникновение продольных волн в упругой среде

 

Второй закон Ньютона для элементарной массы вещества в упругой среде, по которой распространяется продольная волна, имеет вид:

 

                                                            (6.21)

Из выражения (6.21) аналогично выводу (6.6)- (6.8) следует уравнение для продольных волн и скорость их распространения:

                                   .                      (6..22)

Наряду с использованием законов динамики уравнение волны может быть выведено, исходя из энергетических соображений: в результате дифференцирования уравнения, выражающего закон сохранения энергии.

Вызванная прохождением волны деформация малого участка упругой среды имеет вид:

                             .                  (6.23)

Деформации (6.23) соответствует объемная плотность потенциальной энергии

            . (6.24)

Объемная плотность кинетической энергииравна:

                             (6.25)

 

 Уравнение волны получается из (6.24) и (6.25) как следствие закона сохранения энергии:

 .

                                                          

Плоские монохроматические волны

Среди множества допустимых решений уравнения Даламбера для волн в бесконечной одномерной среде выделяют плоские монохроматические волны, для которыч пространственная и временная зависимость деформаций описывается гармонической функцией.

Плоской монохроматической волной называется процесс, в котором какая-либо физическая величина зависит от координаты и времени по гармоническому закону:

                                                                 (6.26)

Пространственная и временная периодичность плоской монохроматической волны следует непосредственно из ее определения (6.26):

                 .                    

Фазовой скорость (скорость распространения точек с постоянной фазой) плоской монохроматической волны может быть рассчитана тремя способами, приводящими к одинаковому ответу:

                                           (6.27)

Выражения (6.27) позволяют переписать определение плоской монохроматической волны (6.26) в форме, соответствующей (6.18).

                 .                    

Достаточно очевидные выражения для объемных плотностей кинетической и потенциальной энергий в плоской монохроматической волне:

             

позволяют получить выражение для плотности потока энергии, переносимой волной:

                                   .                                      

При сложении двух распространяющихся навстречу друг другу плоских монохроматических волн одинаковой частоты и амплитуды возникают стоячие волны в которых существуют неподвижные узлы – области с нулевой амплитудой колебаний. Фиксация образца в узлах стоячей волны не сказывается на колебаниях на других участках стоячей волны.

Сумма двух встречных монохроматических волн.

 (6.19)

Допустимые длины струны, в которой возможно существование стоячих волн с волновым числом k.

                                               (6.20)

Допустимые частоты колебаний в струне длиной L.

                                                                                 (6.21)

 

Заключение

Вот и подошла к концу вторая часть курса классической механики, посвященная методам описания и расчетов движения материальной точки.

В рамках изложенного материала на базе первой части курса, посвященной классической механике материальной точки, были сформулированы новые идеи, посвященные методам классического описания движения тел конечных размеров. Все эти новые методы логично, с математической строгостью вытекали из ранее изложенного курса механики материальной точки. Однако, я вряд ли ошибусь с прогнозом того, что для значительной доли читателей изложенный здесь материал не показался слишком легким. Причина этого состояла в том, что изложение данного раздела физики было более математизировано, чем изложение первой части. Теперь можно открыть маленький секрет – в этом разделе Вы не столько изучали физику, сколько продолжали знакомиться со способами ее изложения на языке математики и учились не только понимать этот язык, но и активно им пользоваться.

Возможно, это вызывало трудности. Но для того трудности и существуют, чтобы их успешно преодолевать. Если Вы добрались до этой заключительной страницы, хочется надеяться, что победителями оказались Вы, а не математические значки и формулы, которые, поверьте, уже довольно скоро начнут Вам казаться весьма привлекательными, понятными и безальтернативными в случае сколько-нибудь серьезного разговора о физике. Если эти слова Вас не слишком удивили и не вызвали у Вас страха или ужаса, значит все хорошо. Значит Вы на правильном пути. Значит наступит время, когда Вам захочется перейти на следующий (четвертый) уровень сложности нашего многоуровневого учебника по физике.

Если же при изучении основ механики по этому пособию Вас постигла неудача и математический формализм и лаконичные замечания по физическому смыслу формул не были Вами осознана до конца, ну что же… Попробуйте заглянуть в материалы, представленные на втором или даже первом уровне сложности изложения. Возможно там Вы найдете то, что более соответствует Вашему уровню подготовки и менталитету.

Удачи и  успехов всем, кто причитал эту страницу! До новых встреч!

                                                                                     

А.С.Чирцов

 

 

Содержание

Уважаемый читатель! 3

7. Динамика систем материальных точек. 4

7.1. Рассмотрение движения системы взаимодействующих частиц на основе законов Ньютона 4

7.2. Центр масс. 6

9.3. Закон сохранения импульса системы частиц. 7

7.4. Закон сохранения момента импульса системы материальных точек. 10

7.5. Закон сохранения механической энергии в потенциальных системах. 12

Вопросы и задачи для самостоятельной работы.. 16

8. Примеры движения простых систем материальных точек. 18

8.1. Задача двух тел. 18

8.2. Упругое столкновение двух тел. Лобовой удар. 19

10.3. Произвольные упругие столкновения. 20

8.4. Неупругие и сверх упругие столкновения. 21

8.5. Движение тела с переменной массой. 22

Вопросы и задачи для самостоятельной работы.. 22

9. МОДЕЛЬ Абсолютно твердоГО телА. Статика. 24

9.1. Общие положения. 24

9.2. Равнодействующая сил, приложенных к твердому телу. 26

9.3. Статика. 28

9.4. Простейшие формы движения твердого тела. 31

9.5. Произвольное движение твердого тела. 32

Вопросы и задачи для самостоятельной работы.. 33

10. Абсолютно твердое тело. Динамика. 34

10.1. Момент импульса свободного твердого тела, тензор инерции. 34

10.2. Кинетическая энергия. 38

10.3. Свободное вращение твердого тела. 38

10.4. Простейшие движения твердого тела с неподвижной точкой опоры при наличии внешних сил. 41

11. Колебательные системы с одной степенью свободы.. 47

11.1. Вывод простейшего уравнения гармонических колебаний. 47

11.2. Решение простейшего уравнения незатухающих гармонических колебаний. 49

11.3. Затухающие колебания. 50

11.4. Апериодический режим при затухающих колебаниях. 52

11.5. Уравнение вынужденных колебаний. 53

Вопросы и задачи для самостоятельной работы. 56

12. Механические волны.. 57

12.1. Связанные маятники. 57

12.2 Бесконечная цепочка из связанных маятников. 59

12.4 Продольные волны в упругой среде. 62

12.5. Плоские монохроматические волны.. 63

Заключение. 65

Содержание. 66

 

 

 

Чирцов А         С