Работа в электростатическом поле

 

 

Напряжённость электрического поля бесконечной заряженной плоскости, согласно теореме Остроградского – Гаусса,

 

 

она не зависит от расстояния до плоскости, следовательно, поле однородно.

Интегрируем:

Тогда

откуда

 

Ответ:

Задача 3. Чему будет равен потенциал шара радиусом R ₁ = 3 см, если: а) сообщить ему заряд 10^-9 Кл; б) окружить его сферой радиусом R ₂ = 4 см, соединённой с Землёй (рис. 8.3)?

 

Дано:

R ₁ = 3 см = 0,03 м

R ₂ = 4 см = 0,04 м

q = 10^-9 Кл

-? -?

 

 

                                                                               

 

    Рис.8.3

 

 

Решение

 

Для определения потенциала шара используем связь напряжённости поля с потенциалом

 

  - d j = E dr; .

 

Напряжённость электрического поля вне шара равна  Проинтегрируем правую и левую части уравнения:

 

 

Полученное выражение является разностью потенциалов двух точек поля, созданного шаром. Если вторую точку взять в бесконечности, т.е. , то = 0 (в бесконечности отсутствует взаимодействие зарядов и потенциальная энергия равна 0).

Тогда  - потенциал точки, находящейся на расстоянии  от центра шара

а) Потенциал на поверхности шара:

 

 В.

 

б) Если окружить шар заземлённой оболочкой, то потенциал оболочки (потенциал Земли равен 0).

 - разность потенциалов оболочки и шара. = 0, значит

 = 75 В.

Ответ: а) = 300 В; б)  = 75 В.

 

Задача 4. Две концентрические металлические сферы радиусом R ₁ = 4 см и R ₂ = 10 см имеют соответственно заряды  = - 2 нКл и = 3 нКл. Пространство между сферами заполнено эбонитом (e = 3). Определить потенциал электрического поля на расстояниях  = 2 см, = 6 см и = 20 см от центра сфер (рис. 8.4).

 

Дано:

R ₁ = 4 см = 0,04 м

R ₂ = 10 см = 0,1 м

 = -2 нКл = - 2 ^.10^-9 Кл

 = 3 нКл = 3 ^.10^-9 Кл

= 2 см = 0,02 м

 = 6 см = 0,06 м

 = 20 см = 0,2 м

-? -? -?

 

                                                                                      Рис. 8.4

 

Решение

 

По теореме Остроградского – Гаусса найдём напряжённость в точках 1, 2, 3:

Е ₁ = 0 (внутри сферы заряд отсутствует);

     

 (поверхность охватывает заряд и , проходя через точку 3).

Для определения потенциала в точках 1, 2, 3 воспользуемся связью напряжённости с потенциалом

 

С помощью этого отношения можно определить разность потенциалов двух точек. Воспользуемся тем, что потенциал в бесконечности принимается равным нулю. Тогда можно определить потенциал внешней сферы:

 

e = 1 (внешняя сфера).

 

Найдём теперь потенциал  между сферами (точка 2):

 

 В.

 

Е ₁ = 0, следовательно, = const, т.е. потенциал внутри сферы одинаков во всех её точках и равен потенциалу на поверхности сферы

 

 

Тогда потенциал сферы радиусом R ₁­ равен

 

В = 280 В.

 

Ответ: = 280 В;  = 130 В.

 

Задача 5. Коаксиальный электрический кабель состоит из центральной жилы и концентрической по отношению к ней цилиндрической оболочки, между которыми находится изоляция. Найти электроёмкость единицы длины такого кабеля, если радиус жилы 1,3 см, радиус оболочки 3 см и диэлектрическая проницаемость изоляции 3,2 (рис. 8.5).

Дано:

R ₁ = 1,3 см = 0,013 м

R ₂ = 3 см = 0,03 м

e = 3,2

-?

 

 

                             Рис.8.5

 

Решение

 

Электроёмкость

 

 

где q – заряд на обкладке;  – разность потенциалов на обкладках конденсатора.

Для вывода формулы электроёмкости воспользуемся связью напряжённости электрического поля с потенциалом:

 

 

Напряжённость электрического поля между жилой и оболочкой вычисляется с помощью теоремы Остроградского – Гаусса:

 

 

Тогда

 

 

Ёмкость единицы длины кабеля

 

 

Ответ:

 

Задача 6. 1) Площадь пластин плоского воздушного конденсатора
100 см², расстояние между ними 5 мм. К пластинам приложена разность потенциалов 300 В. После отключения конденсатора от источника напряжения, пространство между пластинами заполняется эбонитом. а) какова будет разность потенциалов между пластинами до и после заполнения?
б) какова ёмкость конденсатора до и после заполнения? в) какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения? г) как изменится энергия поля конденсатора до и после заполнения?

2) Решить эту задачу для случая, когда заполнение эбонитом конденсатора производится при включённом источнике напряжения.

Дано:                                                         

U ₁ = 300 В                                      

S = 100 см² = 10^-2 м ²

d = 5 мм = 5 10^-3 м

= 3

U ₂ -? С ₁ -? С ₂­ -?

 -? -?

1) Рассмотрим, как изменяются все эти величины при отключённом источнике при заполнении эбонитом , т.к. при отключении источника заряд на пластине не меняется.

D ₁ = D ₂ = s, т.к. индукция электростатического поля не зависит от среды.

С ₁ ¹ С ₂; ;

U ₁ ¹ U ₂;  U ₁ =Е₁ d; U ₂ = E ₂ d.

а)

В.

б)  Ф; С ₂ = 3 С ₁ = 5,31 10^-11 Ф.

в)

г)

 

2) Если источник напряжения остаётся включённым, то постоянным будет уже не заряд (он может подтекать к пластинам от источника), а напряжение на пластинах, которое поддерживается за счёт источника постоянным.

 

U ₁ = U ₂;  E ₁ = E ₂ =   D ₁ ¹ D ₂;   D ₁ =   

а) U ₁ = U ₂ = 300 В.

б)

в) С ₁ = 1,77 10^-11 Ф; С ₂ = 5,31 10^-11 Ф.

г)

Ответ: 1) U ₂ = 100 В; С ₁ = 1,77 10^-11 Ф; С ₂ = 5,31 10^-11 Ф;  2) U ₂ = 300 В;      

С ₁ = 1,77 10^-11 Ф; С ₂ = 5,31 10^-11 Ф.

 

Задача 7. Плоский конденсатор с расстоянием между пластинами
d = 1 см заряжен до разности потенциалов U = 10³ В. Определить объёмную плотность энергии поля конденсатора. Диэлектрик – стекло.

	Решение   Объёмная плотность энергии поля конденсатора есть энергия, заключённая в единице объёма поля:   ,

Дано:                                                 

d = 1 см = 10^-2 м

  U = 10³ B                     

e = 7

 -?

 

где  – энергия поля конденсатора; V – объём поля, т.е. объём пространства между пластинами.

Энергия поля конденсатора

 

,

 

где С – ёмкость конденсатора:

 

;  ; .

 

После подстановки получаем

 

.

 

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

 

Задача 1. Полый шар несет на себе равномерно распределенный заряд. Определите радиус шара, если потенциал в центре шара равен
= 200 в, а в точке, лежащей от его центра на расстоянии 50 см = 40 В.

Ответ: R = 10 см.

 

Задача 2. При перемещении заряда q = 2^.10^-8 Кл между двумя точками поля внешними силами была совершена работа А = 4^.10^-6 Дж. Определить работу сил поля и разность потенциалов этих точек поля.

Ответ: А = - 4^.10^-6 Дж; = 200 В.

 

Задача 3. Электрическое поле создано точечным зарядом = 5^.10^-8 Кл. Не пользуясь понятием потенциала, вычислить работу внешних сил по перемещению точечного заряда = - 2^.10^-9 Кл из точки А в точку В (рис. 8.6), если = 10 см, = 20 см. Определить также изменение потенциальной энергии системы зарядов.

Ответ:   А = 4,5^.10^-6 Дж; D W _p = 4,5^.10^-6 Дж.

 

 

Рис. 8.6

 

Задача 4. Заряды = 1 мкКл и = - 1 мкКл находятся на расстоянии l = 10 см. Определить напряжённость и потенциал в точке, удалённой на расстояние r = 10 см от первого заряда и лежащей на линии, проходящей через первый заряд, перпендикулярно направлению от  к .

Ответ: Е = 7,67 10⁵ ; j = 2,64 ^.10⁴ В.

 

Задача 5. Вычислить потенциальную энергию системы двух точечных зарядов = 10^-8 Кл и = 10^-7 Кл, находящихся на расстоянии d = 10 см друг от друга.

Ответ: W _p = 9^.10^-5 Дж.

 

Задача 6. Найти потенциальную энергию системы трёх точечных зарядов = 10^-8 Кл, = 2^.10^-8 Кл и = - 3^.10^-8 Кл, находящийся в вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 10 см.

Ответ: W _p = - 6,3^.10 ^-5 Дж.

 

Задача 7. Определить работу сил поля, созданного двумя точечными зарядами, при перенесении заряда q = 10^-9Кл из точки С в точку Д (рис. 8.7), если а = 6 см, = 3,3 ^.10^-9 Кл, = - 2 ^.10^-9 Кл.

        

 

Рис. 8.7

Ответ: А = 0,57^.10^-7 Дж.

 

Задача 8. Какая работа совершается при перенесении точечного заряда 2 ^.10^-8 Кл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 1 см от поверхности шара радиусом 1 см с поверхностной плотностью заряда
s = 10^-9 ?

Ответ: А = 1,13^.10^-4 Дж.

 

Задача 9. Шарик массой m = 1 г и зарядом q = 10^-8 Кл перемещается из точки А, потенциал которой равен 600 В, в точку В, потенциал которой равен 0. Чему была равна его скорость в точке А, если в точке В она стала равной 20 ?

Ответ:  = 16,7^.10^-2 .

 

Задача 10. Найти скорость электрона, прошедшего разность потенциалов, равную 1, 5, 10, 100 В.

Ответ:  = 5,93^.10⁵ ;  = 1,33^.10⁶ ;  = 1,87^.10⁶ ;  = 5,93^.10⁶ .

Задача 11. При радиоактивном распаде из ядра атома полония вылетает a -частица со скоростью 1,6^.10⁷ . Найти кинетическую энергию a -частицы, если её заряд q = 2 е, а масса = 6,64^.10^-27 кг, и разность потенциалов поля, в котором можно разогнать покоящуюся частицу до такой же скорости (е = 1,6^.10^-19 Кл).

Ответ: W = 8,5^.10^-13 Дж = 5,32 МэВ; U = 2,66^.10⁶ В.

 

Задача 12. На расстоянии = 4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q = 0,67^.10^-9 Кл. Под действием поля заряд перемещается до расстояния = 2 см, при этом совершается работа

А = 5^.10^-6 Дж. Найти линейную плотность заряда нити.

Ответ: t  =  6^.10^-7 .

 

Задача 13. Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечно длиной нитью. Двигаясь под действием этого поля от точки
 = 1 см до = 4 см, a -частица изменила свою скорость от 2^.10⁶  до 3^.10⁶ . Найти линейную плотность заряда нити ( =6,64^.10^-27 кг).

Ответ: t = 2,08^.10^-6 .

 

Задача 14. Тонкий стержень длиной 10 см несёт равномерно распределённый заряд q = 1 нКл. Определить потенциал j  электрического поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии r = 20 см от его ближайшего конца.

Ответ: j = 36 В.

 

Задача 15. Бесконечно длинная тонкая прямая нить несёт равномерно распределённый по длине нити заряд с линейной плотностью t = 0,01 . Определить разность потенциалов двух точек поля, удалённых от нити на  = 2 см и  = 4 см.

Ответ: = 125 В.

Задача 16. Заряд распределён равномерно по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда s = 10 . Определить разность потенциалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от плоскости на расстоянии   а = 10 см.

Ответ: = 56,6 В.

 

Задача 17. Две параллельные пластинки находятся на расстоянии
d = 0,5 см друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями = 0,2  и = - 0,3 . Определить разность потенциалов между пластинками.

Ответ: = 141 В.

 

Задача 18. Точечный заряд = 1 мкКл и = 0,1 мкКл находятся на расстоянии = 10 см друг от друга. Какую работу совершают силы поля, если второй заряд, отталкиваясь от первого, удаляется от него на расстояние: а) = 10 м; б) = ¥?

Ответ: а) А ₁ = 8,91^.10^-3 Дж; б) А ₂ = 9^.10^-3 Дж.

 

Задача 19. Определить ёмкость плоского конденсатора с двумя слоями диэлектриков: фарфора толщиной  = 2 мм и эбонита толщиной
 = 1,5 мм, если площадь пластины S = 100 см². , .

Ответ: .

 

Задача 20. Определить электроёмкость металлической сферы, погружённой в воду, радиусом R = 2 см.

Ответ: .

 

Задача 21. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U = 600 В, находятся два слоя диэлектриков: стекла толщиной  = 7 мм и эбонита толщиной  = 3 мм. Площадь каждой пластины конденсатора S = 200 см². Найти: а) электроёмкость конденсатора; б) индукцию поля, напряжённость поля и падение потенциала в каждом слое. , .

Ответ: а) Ф; б) ; ; ; .

 

Задача 22. Площадь пластин плоского конденсатора S = 20 см². Пространство между пластинами заполнено двумя слоями диэлектриков: слюды толщиной  = 0,7 мм и эбонита толщиной  = 0,3 мм. Какова электроёмкость конденсатора? , .

Ответ: С = 88,5 пФ.

 

Задача 23. На пластинах плоского конденсатора равномерно распределён заряд с поверхностной плотностью . Расстояние между пластинами  = 1 мм. На сколько изменится разность потенциалов на его обкладках при увеличении расстояния между ними до  = 3 мм. .

Ответ: U = 45,2 В.

 

Задача 24. Ёмкость плоского конденсатора С = 1,5 мкФ. Расстояние между пластинами d = 5 мм. Какова будет ёмкость конденсатора, если на нижнюю пластину положить лист эбонита толщиной  = 3мм? .

Ответ:  = 2,5 мкФ.

 

Задача 25. Между пластинами плоского конденсатора находится плотно прилегающая стеклянная пластина. Конденсатор заряжен до разности потенциалов U = 100 В. Какова будет разность потенциалов, если вытащить стеклянную пластину из конденсатора? , .

Ответ: Dj = 700 В.

 

Задача 26. Две концентрические металлические сферы радиусом
R₁ = 2 см и R₂ = 2,1 см образуют сферический конденсатор. Определить его электроёмкость, если пространство между сферами заполнено парафином (e = 2).

Ответ: .

 

Задача 27. К воздушному конденсатору, заряжённому до разности потенциалов U = 600 В и отключённому от источника напряжения, присоединили параллельно другой незаряженный конденсатор таких же размеров и формы, но с диэлектриком (фарфор). Определить диэлектрическую проницаемость фарфора, если после присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до U₁ = 100 В.

Ответ: e = 5.

 

Задача 28. Два конденсатора ёмкостью C₁ = 3 мкФ и С₂ = 6 мкФ соединены между собой и присоединены к батарее с ЭДС e = 120 В. Определить заряд каждого конденсатора и разность потенциалов между его обкладками, если конденсаторы включены: а) параллельно; б) последовательно.

Ответ: а)  3,6×10^-4 Кл;  7,2×10^-4 Кл; U₁ = 120 В; U₂ = 120 В;
б)  2,4×10^-4 Кл;  2,4×10^-4 Кл; U₁ = 80 В; U₂ = 40 В.

 

Задача 29. Конденсатор ёмкостью C₁ = 0,2 мкФ был заряжен до напряжения U₁ = 320 В. После того, как его соединили параллельно со вторым конденсатором, заряженным до напряжения U₂ = 450 В, напряжение на нём изменилось до U = 400 В. Определить ёмкость С₂ второго конденсатора.

Ответ: С₂ = 0,32 мкФ.

 

Задача 30. Конденсатор ёмкостью С₁ = 0,6 мкФ был заряжен до напряжения U₁ = 300 В и соединён со вторым конденсатором ёмкостью
С₂ = 0,4 мкФ, заряженным до напряжения U₂ = 150 В. Найти величину заряда, перетёкшего с пластин первого конденсатора на второй.

Ответ: Dq = 36 мкКл.

 

Задача 31. Плоский конденсатор с расстоянием между пластинами
d = 1 см заряжен до разности потенциалов U = 103 В. Определить объёмную плотность энергии конденсатора.

Ответ: = 0,044 .

 

Задача 32. Плоский воздушный конденсатор ёмкостью С = 1,1×10^-9 Ф заряжен до разности потенциалов U = 300 В. После отключения от источника напряжения расстояние между пластинами было увеличено в 5 раз. Определить: а) разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвигания; б) работу внешних сил по раздвиганию пластин.

Ответ: U = 1500 В, А = 0,198×10^-3 Дж.

Задача 33. Ёмкость плоского конденсатора С = 1,1×10^-9 Ф. Диэлектрик – фарфор. Конденсатор зарядили до разности потенциалов U = 600 В и отключили от источника напряжения. Какую работу нужно совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора? Трением пренебречь.

Ответ: А = 79,2×10^-5 Дж.

 

Задача 34. Между пластинами плоского конденсатора, расположенными горизонтально, удерживается в равновесии пылинка массой
m = 10^-9 г и зарядом . Расстояние между пластинами равно
1 см. Определить разность потенциалов между пластинами.

Ответ: U = 204 В.

Занятие 9

 

РАСЧЁТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ. РАБОТА

И МОЩНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА.

ЗАКОН ДЖОУЛЯ – ЛЕНЦА

 

Контрольные вопросы для подготовки к занятию

1. Что называется электрическим током проводимости? Дайте определение силы тока и плотности тока, запишите определяющие формулы, единицы измерения.

2. Запишите выражение, устанавливающее связь силы и плотности электрического тока со средней скоростью  упорядоченного движения заряженных частиц в проводнике.

3. Дайте определение ЭДС и её единицы измерения.

4. Сформулируйте и запишите закон Ома для участка однородной цепи, неоднородной цепи и для замкнутой цепи.

5. Дайте определение электрического сопротивления. От чего оно зависит? Единица измерения.

6. Сформулируйте, запишите и поясните правила Кирхгофа.

7. Запишите и поясните формулу работы постоянного тока для участка цепи, не содержащего ЭДС.

8. Сформулируйте и запишите в интегральной и дифференциальной форме закон Джоуля – Ленца.

9. Что называется мощностью тока? Запишите формулы мощности тока для участка цепи, источника тока.

10. Записать и пояснить формулы для определения максимального значения полной мощности? Полезной мощности?

11. Что называется КПД источника тока? Как зависит КПД источника тока от внешнего и внутреннего сопротивления?

12. Как определяется сила тока короткого замыкания?