Изучение поперечных волн в нагруженной струне

 

Поперечные волны в струне, как процесс распространения малых колебаний ее элементов, обладает достаточной наглядностью, относительной простотой описания и сохраняет особенности волн в упругой среде. Возможность визуального наблюдения этих волн выделяет их в методическом отношении при изучении волновых процессов.

Волновое уравнение и скорость волны.

Для вывода волнового уравнения рассмотрим уравнение движения элемента струны при волновом процессе.

Пусть в равновесном состоянии струна расположена вдоль оси х и натянута внешней силой F с обеих сторон. Колебания элемента струны вдоль оси у породят плоско поляризованную волну в струне. Пусть участок струны , с координатами  и  в равновесном состоянии, занял в момент времени t положение, изображенное на рис. 1.

Рис. 1. Смещение элемента струны от положения равновесия.

Уравнение движения центра масс участка в проекции на ось у запишем в виде (второй закона Ньютона):

 (1)

Поскольку колебания малы, то:

1)относительная деформация участков струны за счет колебаний мала.

2)модуль вектора силы натяжения F постоянен, т.е. не зависит от колебаний участка и одинаков у всех участков.

3.Углы  наклона касательных в точках струны к оси х (рис.1.) малы, так что . С учетом этого (1) можно записать в виде:

,                                                    (2)

где - плотность среды, S – площадь поперечного сечения струны.

Поскольку , то из (2) следует:

.                                         (3)

Уравнение (3) является искомым волновым уравнением, решением которого является уравнение волны. Волна распространяется со скоростью

,

где  - упругое напряжение.

Стоячие волны в ограниченной струне.

Классическим примером идеальной стоячей волны является волновой процесс, порожденный интерференцией двух встречных когерентных волн одинаковых амплитуд

В этом случае стоячая волна описывается уравнением

.                                                   (4)

В случае струны, ограниченной с двух сторон, возможно возбуждение стоячей волны внешним возбуждением, но лишь при определенных соотношениях длины волны  и длины струны L. Эти соотношения определяются граничными условиями. Рассмотрим эту особенность, определив стоячую волну в струне, как результат сложения бегущих волн при многократном отражении их от концов струны. Для простоты будем рассматривать волны без поглощения и считать, что концы струны в точках х = 0 и x = L закреплены, т.е.  Решение волнового уравнения (3) будем искать в виде

.                             (5)

С учетом граничных условий получим, что А = - В. Это приводит (5) к уравнению стоячей волны в виде

.                                                 6)

Также из граничных условий (для любого ) следует

 и  ().                         (7)

Условия (7) соответствуют условию образования стоячей волны в закрепленной с обоих концов струне.

Экспериментальная установка.

Для изучения поперечных волн в нагруженной струне предлагается провести исследования образования стоячей волны в струне, закреплённой с двух сторон. Схема установки представлена на рис. 2.

Рис. 2.Схема экспериментальной установки.

Струна 1 натянута между опорами 2 и 3. Сила натяжения струны определяется перегрузками 4, подвешенными к свободному концу струны. Опора 3 подвижна, так что длина участка струны 2-3 может быть переменной; ее изменения измеряются по линейке 5. Колебания в струне возбуждаются генератором 6 благодаря взаимодействию тока, протекающего по струне с магнитным полем магнита 7. Установка позволяет производить измерения на различных частотах при различных упругих напряжениях в струне . Индикация образования стоячей волны производится как на слух (при удобных частотах), так и визуально по амплитуде стоячей волны.

Задание.

1. Методом переменной длины L определить длину волны в струне при заданной частоте и силе натяжения; рассчитать скорость волны.

2. При заданной длине участка струны и заданной силе натяжения наблюдать образование стоячих волн, изменяя частоту генератора. Зарисовать не менее трех гармоник. Рассчитать скорости всех гармоник .

3. Подобные вычисления проделать для 6÷7 значений силы натяжения (при неизменной длине струны).

4. Рассчитать теоретические значения скорости .

5. Построить график зависимости  от силы натяжения F; нанести на график значения .

Литература

1.Стрелков, С.П. Механика [Текст] / С.П.Стрелков. - М.:Наука, 1975.

2.Сивухин, Д.В. Общий курс физики (механика) [Текст] / Д.В.Сивухин – М.:Наука, 1985.

3.Пейн, Г. Физика колебаний и волн [Текст] / Г.Пейн. - М.:Мир, 1979.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №14