Волны на свободной поверхности жидкости

 

Теоретическое введение. Рассмотрим процесс распространения волн в бесконечном водоеме глубины . В отсутствии волны поверхность воды плоская. Пусть для этой плоскости  и ось  направлена вверх, а волна распространяется горизонтально вдоль оси , так что гребни и впадины волны расположены вдоль линий, перпендикулярных оси .

Обозначим через  равновесные координаты некоторой частицы волны: (; ).

В волне частица совершает движение, которое является суперпозицией двух движений: вверх-вниз (вдоль оси ) и движение вперед-назад (вдоль оси ). Вектор смещения в волне имеет только  и компоненты:

,

где ,  - проекции вектора смещения на оси  и  соответственно.

Выделим вблизи поверхности жидкости элементарный объём  (рис. 1), находящийся в равновесном положении; предполагается, что ,  (  - длина волны). Над этим элементом находится столб жидкости высотой .

Рис. 1. Движение выделенного элемента жидкости.

Гравитационные волны. Рассчитаем силу, действующую на выделенный элементарный объём вдоль оси :

          (1)

Здесь  - плотность жидкости,  - ускорение силы тяжести,  масса элементарного объёма,  и  - значения  в точках  и  соответственно.

По второму закону Ньютона

                                               (2)

Поскольку сила квазиупругая, то вызываемое ею смещение гармоническое, а поэтому

                                                 (3)

Рассчитаем значения  и . Предположим ; используя условие несжимаемости

                                               (4)

и условие отсутствия завихрений

,                                              (5)

получим уравнение

.                                                  (6)

Это уравнение имеет решение: .

Используя граничное условие на дне:  при , а, следовательно, и  при , получим ;

                               (7)

Аналогично рассчитывается :

                        (8)

Траектория движения частиц. Найдем уравнение траектории движения частиц в волне. Для этого представим смещение  и  в виде:

  (7а)

   (8а)

Тогда, исключив из этих двух уравнений время, получим уравнение траектории:

,                   (9)

которое представляет собой уравнение эллипса. Таким образом, в волне частицы совершают движение по эллиптическим траекториям.

Рассмотрим частные случаи

1.  (глубокая вода).

Уравнение эллипса превращается в уравнение окружности:

,                                      (10)

т.е. частицы в глубокой воде движутся по окружности в плоскости , смещаясь вперед, когда они находятся на гребне волны, и назад, когда они находятся во впадине (рис.2).

 

Рис.2. Траектории движения частиц в волне.

 

Радиус окружности уменьшается с удалением от поверхности жидкости.

2.  (мелкая вода)

В этом случае выражение для смещений частиц в волне (7а) и (8а) принимают вид

;     .

Отсюда видно, что горизонтальное смещение частицы не зависит от её равновесной координаты . Вертикальное смещение , меняется линейно с глубиной частицы, достигая нуля на дне и максимума на поверхности. На поверхности максимальное вертикальное смещение меньше максимального горизонтального в  раз.

Силы поверхностного натяжения. Поверхность жидкости можно рассматривать как растянутую мембрану, Сила поверхностного натяжения  ( - поверхностное натяжение) направлена вдоль оси .

Если свободная поверхность выпуклая, то возникает добавочное давление, равное в этом случае

,                                            (11)

где  (  - радиус кривизны).

Учитывая (7), получим . Уравнение (1) с учетом поверхностного натяжения можно представить в следующем виде:

,         (12)

где , .

Из (7)и (8) следует, что

.

Тогда (3) с учетом (12) преобразуются к виду

                            (13)

В глубокой воде ():

,                                        (14)

а фазовая скорость:

,                                    (15)

где  - длина волны.

В мелкой воде (), очевидно, , .

Выражение (13) принимает вид ,

фазовая скорость волны: .

В этом случае волны не обладают дисперсией.

Экспериментальные исследования. Экспериментальные исследования проводятся на стандартной установке для наблюдения волн на поверхности жидкости.

Задания.

1). Перед проведением экспериментов ознакомиться с конструкцией установки и принципом ее действия по техническому описанию.

2). Подготовить установку к эксперименту.

3). Провести по масштабной линейке измерения длины волны в режиме наблюдения бегущих плоских волн при стробоскопическом освещении (не менее пяти раз).

4). Измерить частоту колебаний вибратора с помощью частотомера и рассчитать величину фазовой скорости волны ,

где  - частота;  - среднее значение длины волны.

5). Рассчитать теоретическое значение скорости волны по формуле (15) и сравнить его с экспериментальными данными в пределах погрешности.

6). Построить график зависимости фазовой скорости  от длины волны  в соответствии с (15), предварительно исследовав функцию на экстремум.

Литература:

1.Крауфорд,Ф. Курс физики, т.3 Волны [Текст] / Ф.Крауфорд. – М.: Наука, 1974.

2.Поль,Р.В. Механика, акустика и учение о теплоте [Текст] / Р.В. Поль. – М.: Наука, 1965.

3.Красильников,В.А. Введение в физическую акустику [Текст] / В.А.Красильников, В.В.Крылов. - М.: Наука, 1984.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 18