З.Волновые представления в описании дифракции электронов.

Для описания дифракции электронов используют волновые представления. Согласно этим представлениям свободным движущимся частицами ставится в соответствие волновая функция, по математическому виду подобная плоской гармонической волне (1).

Если частица, имеющая массу покоя , движется вдоль оси  с энергией  и импульсом , то волновая функция  имеет вид:

                           (9)

В общем (релятивистском) случае энергия  и импульс  определены соотношениями:

                                         (10)

Из соотношений (10) следует связь энергии и импульса в виде:

                                                   (11)

Из сравнения уравнений (9) и (1) следуют известные соотношения де-Бройля:

,                                                (12)

Уравнение (11) позволяет определить дисперсионное уравнение для волновой функции :

                                                         (13)

Для волновой функции в теории найден особый физический смысл. Если, например, для электромагнитной волны уравнение волны (1) определяет распределение электромагнитного поля в пространстве и его изменение во времени, то волновая функция (9), введенная для описания состояния частиц, определяет плотность вероятности нахождения частицы в пространстве. Эта плотность вероятности, с точностью до произвольного постоянного сомножителя, определяется произведением волновой функции  на ее комплексно-сопряженное значение , т.е. плотность вероятности  определена соотношением:

                                          (14)

Вероятность  нахождения частицы в пространстве с координатами от  до  будет определяться в виде

                                              (15)

Величину  обычно находят из условия нормировки. В задачах, где воздействие на частицы изменяет компоненты импульса , а энергия остается постоянной, волновая функция представляется интегралом Фурье в пространстве импульсов (). В данной задаче электрон, движущийся от источника до щели, считается свободным, в области щели электрон отклоняется от первоначального направления (рассеивается). Для описания этого рассеяния в рамках волновых представлений достаточно определить волновые функции в области щели. Поскольку в математическом отношении эта задача подобна рассмотренной в дифракции электромагнитных волн на щели, можно воспользоваться полученными результатами, заменив волновой вектор  и частоту  в соответствии с соотношениями де-Бройля (12).

Опуская множитель  (задача стационарная), для спектра амплитуд волновой функции в области щели, используя (8), можно записать:

,                                    (16)

где  - компонента импульса электрона.

Волновая функция в области  определена этим спектром подобно (3). Используем найденный спектр амплитуд волновой функции (8) для описания дифракции электронов. Для этого найдем плотность вероятности, описывающей отклонения электронов (при длительной экспозиции) на угол .

Поскольку

,                                                (17)

где  - импульс электронов, вылетающих из источника, то можно сначала найти плотность вероятности  как функцию , используя (16)

.                             (18)

Для исключения неопределенной  определим плотность вероятности  для . Поскольку , то:

.                                 (19)

Откуда, введя угол дифракции  как переменную, получим:

.                          (20)

Будем далее считать, что дифракция электронов анализируется счетчиками, расположенными под различными углами . Входные окна счетчиков малы и соответствуют малому интервалу угла , в пределах которого  можно считать постоянной. В этом случае число частиц ,фиксируемое -ым счетчиком за время , будет пропорционально плотности вероятности и величине угла

                            (21)