Теорема. Каждый вектор x можно представить единственным образом в виде лин.комбинации векторов базиса

Теорема. Каждый вектор x можно представить единственным образом в виде лин.комбинации векторов базиса

Пусть  (1) — базис n-мерного лин. пр-ва V, т.е. совокупность линейно независимых векторов. Совокупность векторов будет лин. зависимой, т.к. их n + 1.

Т.е. существуют числа , не все равные нулю одновременно, что   причѐм  (иначе (1) линейно зависимы).

Тогда   где  разложение вектора x по базису(1).

Это выражение единственно, т.к. если существует другое выражение  (**)

вычитая из (*) равенство (**),

получим

Т.к. линейно независимы, то . Чтд

№3

Теорема. Если - лин. независимые векторы пространства V и каждый вектор x из V может быть представлен через , то эти векторы образуют базис V

Док-во: (1)-лин.независима =>остается док-ть, что для  лин.зависимы. По усл. Каждый вектор а выражается через (1): ,  
рассмотрим , rang≤n => среди столбцов не больше nлинейно независимы, но m > n=> m столбцов линейно зависимы=> s=1, n

Т.е.векторы  лин.зависимы

Т.о пространство V n-мерно и (1) его базис

 

№4 Опр. Подмножество L лин. пр-ва V называется лин. подпр. этого пространства если относительно заданных в V операциях (+) и (*а) подпространство L является линейным пространством

Теорема Множество L векторов пространства V является лин. подпространством этого пространства ó выполняются

(дост) пусть (1) и (2) выполнены, для того что L подпрост.V остается доказать что выполнены все аксиомы лин. пр-ва.

(-x): -x+x=0  д. а(х + у)= ах + ау;

(а-б) и (д-з) вытекает из справедливости для V докажем (в)

(необходимость) Пусть L является лин. подпространством этого пространства, тогда (1) и (2) выполняются в силу определения лин. пр-ва

Опр. Совокупность всевозможных лин. комбинаций некоторых элементов (x_j) лин. пр-ва называется линейной оболочкой

Теорема  произвольное множество всех лин. комбинаций векторов V с действ. коэф является лин. подпр V (линейная оболочка данной системы векторов лин. пр. является лин.подпр этого пр.)

№5

Опр. Непустое подмножество L векторов лин. пр-ва V называется лин. подпространством, если:

а)сумма любых векторов из L принадлежит L

б)произведение каждого вектора из L на любое число принадлежит L

Любая невырожденная квадратичная матрица может служить матрицей перехода от одного базиса к другому

Пусть в n мерном линейной пространстве V имеется два базиса и

(1) =A , где  здесь элементы * и ** не числа но мы распространим на такие строки определенные операции над числовой матрицей.

 т.к. иначе векторы ** были бы лин.зависимы

Обратно. Если  то столбцы А линейно независимы =>образуют базис

№8

Координаты  и  связанны соотношением , где элементы матрицы перехода

Пусть известно разложение элементов "нового" базиса по «старому»

Тогда справедливы равенства

=

=  или

=0

Но если линейная комбинация линейно независимых элементов равна 0 то =>         

№9

Свойства

1)Если B то В= =>  т.о. отношение подобия симметрично

2) А  

 

Отношение подобия транзитивно

3) каждая матрица подобна самой себе Х=Е. Отношение подобия рефлексивно. Т.о. матрицы одного и того же лин. преобр. всегда подобны

5)

Для каждой обратимой A

AB=BA=>

6) [ ]

7)

№39 Опр. . мат. ), где x—  незав. переменная, называют  характеристической матрицей. Её определитель f(x)=| |- характеристическим многочленом оператора А.

Сумма диагональных элементов — следом(trA)

| |=0 называют характеристическим уравнением,

Теорема. Каждый вектор x можно представить единственным образом в виде лин.комбинации векторов базиса

Пусть  (1) — базис n-мерного лин. пр-ва V, т.е. совокупность линейно независимых векторов. Совокупность векторов будет лин. зависимой, т.к. их n + 1.

Т.е. существуют числа , не все равные нулю одновременно, что   причѐм  (иначе (1) линейно зависимы).

Тогда   где  разложение вектора x по базису(1).

Это выражение единственно, т.к. если существует другое выражение  (**)

вычитая из (*) равенство (**),

получим

Т.к. линейно независимы, то . Чтд

№3

Теорема. Если - лин. независимые векторы пространства V и каждый вектор x из V может быть представлен через , то эти векторы образуют базис V

Док-во: (1)-лин.независима =>остается док-ть, что для  лин.зависимы. По усл. Каждый вектор а выражается через (1): ,  
рассмотрим , rang≤n => среди столбцов не больше nлинейно независимы, но m > n=> m столбцов линейно зависимы=> s=1, n

Т.е.векторы  лин.зависимы

Т.о пространство V n-мерно и (1) его базис

 

№4 Опр. Подмножество L лин. пр-ва V называется лин. подпр. этого пространства если относительно заданных в V операциях (+) и (*а) подпространство L является линейным пространством

Теорема Множество L векторов пространства V является лин. подпространством этого пространства ó выполняются

(дост) пусть (1) и (2) выполнены, для того что L подпрост.V остается доказать что выполнены все аксиомы лин. пр-ва.

(-x): -x+x=0  д. а(х + у)= ах + ау;

(а-б) и (д-з) вытекает из справедливости для V докажем (в)

(необходимость) Пусть L является лин. подпространством этого пространства, тогда (1) и (2) выполняются в силу определения лин. пр-ва

Опр. Совокупность всевозможных лин. комбинаций некоторых элементов (x_j) лин. пр-ва называется линейной оболочкой

Теорема  произвольное множество всех лин. комбинаций векторов V с действ. коэф является лин. подпр V (линейная оболочка данной системы векторов лин. пр. является лин.подпр этого пр.)

№5

Опр. Непустое подмножество L векторов лин. пр-ва V называется лин. подпространством, если:

а)сумма любых векторов из L принадлежит L

б)произведение каждого вектора из L на любое число принадлежит L