Теорема Гамильтона-Кели: Каждая матрица является корнем своего характеристического многочлена

(В лекциях без док-в., если f-характ. многочлен, то f(А)=0)

 

 

 

№40

Опр. Собственным вектором оператора   будем называть такой вектор, для которого выполняется равенство ,   называется собственным значением, соответ. собственному вектору x оператора   и     P (C).

Св-ва собств. вект 1) Каждому собств. вектору x соответствует (!) собственное значение  .

[ctv: ]

2) Если x – собст. вектор оператора    то  вектор , где 0, тоже является собст. вект. для собств. зн. ( ]

Т. Если – различные собств. значения, то соответствующие им собств. вект. – образуют лин.независ. систему.

(ctv) Пусть не все=0  пусть для определенности . Подействуем преобр.f на обе части(1):  (2); ;

(2)-(3) = =0 (*)

Лин. комб. содержит лишь (k-1) векторов. Действуем на (*) преобр. f, затем умножаем (*) на , затем из первого результата вычитаем второй => уничтожится еще один вектор, продолжая данную процедуру, придем к равенству:  но тогда = 0, но собственный вектор=>  против.

№41

Теорема (Критерий подобия квадратных матриц) Две квадратные матрицы подобны т.и.т.т.к., когда они являются матрицами одного и того же лин. преобр. в разных базисах

Дост. Пусть A и B — квадр. порядка n над полем P, являются матрицами одного и того же лин. преобр. пр-ва V, тогда B=C ^-1AC (*), C-матрица перехода, С

 

Необ. Существ. Подобные матрицы порядка n–A,B  выполняется (*)\

При заданном базисе между квадратичными матрицами n мерного линейного пространства существует взаимно-однозначное соответствие (по цветочку)

Пусть f линейное преобразование пр-ва V, которое в некотором базисе  имеет матрицу A, т.к C , то она служит матрицей перехода преобразования f в базисе

 

№42Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов линейного оператора

 

Пусть  базис пр-ва V.  А f лин. оператор,  собственный вектор f=> f(x)= (2)

 в (1)=>перепишем (2) как )

 

ОСЛУ (**) относительно  допускает =0 (*). Т.е. нужно решить многочлен n-степени, относительно  (характеристич. многочл. преобр. f) => собств. значения обязательно должны быть корнями характерист. уравнения, =>для отыскания необходимо решить(*)

Пусть -корень этого ур. Подставим его в (**) и решим систему относительно  , тем самым найдем координаты собственного вектора

Аналогично отыскиваются собственные векторы отвечающие другим собственным значениям

Легко видеть, что множество всех собственных векторов с собственным значением совпадает с множеством всех  решений ОСЛУ

№43  

Опр. Пусть f лин.опер. n-мерного лин пр-ва V над полем P. Подпространство V’ называется инвариантным относительно f, если для  образ . Иначе инвариантно относительно f если .

 

Теорема. В действительном n -мерном пр-ве V всякий лин.оператор f имеет по крайней мере одно одномерное или двумерное инвариантное пространство

Пусть - какой-нибудь базис в пр-ве V и пусть - матр. оператора f в этом базисе, тогда  многочлен n степени с вещ. коэф. Существует 2 возможных случая: хар. многочлен имеет корень

 

1) -вещественный. Тогда система для нахождения собст.вектора (*) имеет ненулевое решение, кот.опред. собстве вектор отвеч.

. Очевидно, одномерное  подпр. L()-инварант. подпр. относительно f

 

2) =  + i-компл. Подставим корень в сист. (*) получим, что она имеет  решение: (‘) Подставляя (‘) в (*), перенесем члены с  в правую часть получим

Отделяя вещ и мним. части перейдем к след.сист. (*) и (**)

Введем в рассмотрение векторы  и  

Ясно, что x,y  (собст.векторы). тогда в (*)и (**) примут вид , f(y)= (***),=> подпространство порожденное векторами x и y (L(x,y)) инвариантное подпр. oператора f(x)

Действительно, пусть , f(z)= = y=

Размерность . Подпр. , т.к. если бы  были лин.завис. y=kx, то f(x) =  и x был бы собственным вектором преобр с вещ.собств. значением , что невозможно

 

Следствие: пусть f-лин.оператор вещ. лин. пр-ва Vразмерности (zn+1), где n-натур.,тогда существует хотя бы одно одномерное инвариантное подпр. f, т.к. у f хотя бы один собств.вектор, отвечающий вещ.собст.значению—корню многочлена  нечетной степени

 

№44

Теперь будем считать, что V- евкл.пр-во (т.е. в Vопред. операция скалярного умножения)

 

Опр. Лин.операторы f и  называются сопряженными если имеет место равенство . Очевидно . (1)

Теорема. Пусть f и  сопряженные операторы в V, ортонорм. базис в V. А—мат. f, а В — мат  в (2). Тогда

Запишем (1) для пары векторов :

(f (),

()

 

№45

Теорема. В конечномерном евклид. пр-ве V каждый лин. оператор обладает единств.[(!)] сопряженным.

Возьмем в V ортонорм. базис  f-лин. преобр. пр-ва, матр f  в этом базисе.

Возьмем матрицу  (1). Известно, что матрице  при заданном базисе отвечает (!) оператор

Покажем, что f и сопряженные операторы.

Из (1)=>(по теореме о матрицах сопряженных операторов) (f (),  (2), т.е. для базисных векторов выполняется соотношение (@)

Возьмем  И рассмотрим скаляр. произвед.  и

= =

=

На основание (2) получаем, что

,

Что означает что соотношение  выполняется для , т.е. у лин.оператора f  сопряженный—f*. Тогда (@) –

Единственность доказывается (ctv), с помощью утвержд.: «Если u »

 

№46

Опр. Лин.оператор самосопряженный(сс), если он совпадает со своим сопряжением, т.е. f=f*