Теорема. Чтобы пр-ва V и V ”были изоморфны необходимо и достаточно, чтобы они  имели одинаковые размерности

Возьмем базисы  поставим в соответствие : V и  изоморфны

Заметим, что при изоморфном соотв. нулевому вектору 0 из  из лин.зависимости  и обратно

Макс. число линейно независимых векторов в обоих пространствах должно быть одинаковым

Значение Лин. прос-ва могут состоять из чего угодно (столбцов, многочл., чисел, векторов, функций) — природа элементов не влияет на свойства, связанные с лин. операциями. Все св-ва у двух изомор. пр-тв одинаковы. Если условимся не различать между собой изомор. пр-ва, то для каждой размерности найдется (!) лин. прос-во.

№14

Множество всех решений ОСЛУ  (*) с n неизвестными над полем P, являются лин. подпр. пр-ва Pn

 тогда

b=0

Из теоремы о линейном подпространстве  К является линейным подпространством

К называют пространством решений

Размерность К решений равна n - r, где r – ранг матрицы системы

(1)

(2)

( где минор порядка  ) отмечен от нуля

Докажем что  b  (тогда - базис ). Рассмотрим вспомогательный вектор , d(), где =…=

вектор d является лин.комб. решений системы (*), а значит является её решением.

Т.о.  -решение, которое получается при нулевых значениях неизвестных, но тогда , т.е. выполняется (4)

значит система векторов является базисом пр-ва К и значит пространство К является n-r мерным

 

№15

Опр. Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам x и у из E сопоставлено вещественное число (обозначаемое (x,y)), и это соответствие удовлетворяет следующим требованиям, для любых  векторов x, у и z и числа а:

               

         

Cлед.

Неравенство Коши-Буняковского:

Если то  верно следующее (*)

Значит дискриминант многочлена (*) неположительный, т.е.

=>

Неравенство (*)

Если  —аналог т.Пифагора

 

№16

Опр. Базис  называется ортогональным, если векторы (1) попарно ортогональны, если | |=1—ортонормированным

т.е.

Теорема. Любая система попарно ортогональных векторов <>0 линейного пространства V лин.независима

)

 система линейно независима

№17

Во всяком евклидовом пространстве Е" существует ортонормированный базис.

Пусть в Е" дан некоторый, неортогональный базис (g₁,g₂,..,g_n). Построим вначале базис из попарно ортогональных элементов.

Последовательное построение этих элементов будем называть процессом ортогонализации базиса.

 

Поделив каждый из векторов на свою длину, получим ортонормированный базис

Ортогонализация Грама-Шмида

 

№18

Пусть  чтобы (“) необходимо и достаточно чтобы  –ортогональны

(*)

При ортонормированном  равенство (*) переходит в (“)

Необ. Равенство (“) подразумевает  в (*), а это и есть условие ортонормированности

Замечание Для произвольного x=  в ортонормированном базисе  

будем называть (J) проекцией на

Равенство (J) означает что координаты являются проекциями на базисные вектора

№19