Приведение обеих частей уравнения к одному основанию

Показательные уравнения

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным. Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение ах = b (a >0, а ¹1).

Решение показательного уравнения вида af (x)= ag (x) (a >0, а ¹1) основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f (x)= g (x).

Следствие. Пусть a >0, а ¹1. Если степени с основанием а равны, то их показатели равны, т.е. если as = at, то s = t.

Приведение обеих частей уравнения к одному основанию

Этот способ основан на свойстве степеней: если две степени равны и их основания равны, то равны и их показатели.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. ; ; х =4.

Ответ: 4

Пример 2. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ:

Задание 1. Решите уравнение…

1) =125	2) =	3) 27 х =	4) = ‑2	5) =625
6) =	7) 6 х =1296	8) =8	9) =	10) = ‑2,5

Пример 3. Решите уравнение .

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению или .

Решая квадратное уравнение, находим х ₁=2, х ₂=4. Эти числа являются корнями исходного показательного уравнения.

Ответ: 2; 4

Задание 2. Решите уравнение…

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)

Пример 4. Решите уравнение 102 х ‑ 5=100.

Решение. 102 х ‑ 5=100; 102 х ‑ 5=102; 2 х ‑ 5=2; отсюда х =3,5.

Ответ: 3,5

Пример 5. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ: 2

Задание 3. Решите уравнение…

1) 35 – 2 х =81	2) 48+5 х =1	3) 32 – х =27	4) 4 х 2+ х =16	5) 2 х +2=128
6) 2 х +1=16	7) 2 х – 1=32	8) 3 х 2 – х =1	9) 9 – х =27	10) 4 – х =16

Пример 6. Решите уравнение .

Решение. Уравнение решается приведением левой и правой частей к степеням с равными основаниями. 16 =2⁴×2^1/2=2^4,5.

Из уравнения 2 х 2‑6 х ‑2,5=2^4,5 получаем х ²‑6 х ‑2,5=4,5, откуда х = ‑1 и х =7.

Ответ: ‑ 1; 7

Пример 7. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ:

Пример 8. Найдите корень уравнения .

Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 3: .

Ответ:

Задание 4. Решите уравнение…

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)

Пример 9. Решите уравнение .

Решение. Приведем обе части уравнения к одному основанию:

; ; ;

; ; x = ‑ 2.

Ответ: ‑ 2

Пример 10. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ: 2

Пример 11. Найдите корень уравнения .

Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 3: .

Ответ: 1

Задание 5. Решите уравнение…

1)	2)	3) =	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10) =

Пример 12. Решите уравнение .

Решение. Воспользуемся свойством степени:

; ; . Отсюда х =2.

Ответ: 2

Задание 6. Решите уравнение…

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)

Пример 13. Решите уравнение .

Решение. ; ; ; 2 x =3; x = .

Ответ:

Пример 14. Найдите корень уравнения .

Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 2: .

Ответ:

Пример 15. Найдите корень уравнения .

Решение. Преобразуем правую часть уравнения: .

Получаем уравнение

Ответ:

Задание 7. Решите уравнение…

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)

Пример 16. Решите уравнение .

Решение. По определению корня имеем: .

Приведем обе части уравнения к одному основанию:

; .

; 9(x – 1)=4(2 – x); 9 x – 9=8 – 4 x; 13 x =17; x = .

Ответ:

Задание 8. Решите уравнение…

1) =	2) =4	3) =	4) =27
5) =	6) ( =	7) =	8) 16 ‑1 =2x
9) ( =	10) 8 ‑1 =2x/2

Пример 17. Решите уравнение .

Решение. ; ; |x+1|=2 Û Û

Û

Ответ: 1; ‑ 3

Задание 9. Решите уравнение…

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)

Пример 18. Решите уравнение .

Решение. ; ; 1= x – 2; x =3.

Ответ: 3

Задание 10. Решите уравнение…

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)

Метод почленного деления

Суть метода в почленном делении уравнения, члены которого представляют собой степени с одинаковыми показателями и различными основаниями на одну из степеней.

При этом удобнее делить на степень с большим показателем.

Пример 28. Решите уравнение 9^х+6^х=2×4^х.

Решение. Разделим обе части уравнения на 4^х≠0, получим + =2, + ‑2=0. Обозначим = у, у >0, получим у ²+ у ‑2=0; y ₁= ‑2; у ₂=1. ‑2 не удовлетворяет условию у >0. Имеем =1. х =0.

Ответ: 0

Задание 16. Решите уравнение…

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)

Логарифмирование

Уравнения вида a ^f(x)= b ^g(x) (a >0, a ≠1, b >0, b ≠1), где f (x) и g (x) – элементарные функции, решаются логарифмированием обеих частей.

Уравнения вида , где a >0, a ¹1 имеет решение, если b > 0. Его решают логарифмированием по основанию a: . Тогда .

Пример 29. Решить уравнение .

Решение. Прологарифмируем уравнение по основанию 3.

Получаем: ; ; ; .

Ответ:

Задание 17. Решите уравнение…

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)

Пример 30. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. Умножим обе части уравнения на положительное выражение , получим: , откуда и .

, , значит, указанному промежутку принадлежит только корень .

Ответ: 0,5; 2 и 2; 0,5

Пример 31. Решите уравнение .

Решение. Поскольку и при любых значениях х, то можно прологарифмировать обе части данного уравнения, например, по основанию 2:

; .

Далее раскроем скобки и выразим х: х +1=(2 – х) , откуда х + х =2 – 1, x = .

Ответ:

Задание 18. Решите уравнение…

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)

Уравнения с параметром

Пример 33. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

Решение. Сделаем замену . Тогда исходное уравнение примет вид . Для того чтобы оно имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен имел хотя бы один положительный корень, значит дискриминант должен быть больше нуля.

Поскольку , то условие D ³0 выполняется при а ³2 или а £ ‑ 6.

По теореме Виета, корни уравнения удовлетворяют системе уравнений .

При а £ ‑ 6 имеем , а , поэтому оба корня отрицательны, и, следовательно, исходное уравнение решений не имеет.

При а ³2 имеем , следовательно, хотя бы один из корней больше нуля.

Таким образом, уравнение имеет хотя бы одно решение при а ³2.

Ответ: [2; +∞)

Пример 34. Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

Решение. Сделаем замену . Тогда исходное уравнение примет вид . Для того чтобы оно имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен имел хотя бы один положительный корень, значит дискриминант должен быть больше нуля.

Поскольку , то условие выполняется при или .

По теореме Виета, корни уравнения удовлетворяют системе уравнений .

При имеем , а , поэтому оба корня отрицательны, и, следовательно, исходное уравнение решений не имеет.

При имеем , следовательно, хотя бы один из корней больше нуля. Таким образом, уравнение имеет хотя бы одно решение при .

Ответ:

Пример 35. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. Пусть . ; ; ; ; .

Так как , получаем если , то ; если , то . Поскольку при решением являются все положительные значения , уравнение имеет единственное решение, если

Ответ:

Задание 20. При каких значениях а уравнение…

1) 25х+5х×(2 ‑ 3 а)+2 а 2 ‑ 5 а ‑ 3=0 имеет одно решение

2) 9х ‑ 3х×(5 а +3)+6 а 2 +11 а ‑ 10=0 имеет одно решение

3) 4х ‑ 2х×(6 а ‑ 4)+5 а 2 – 4 а =0 имеет два различных решения

4) 36х+6х×(а ‑ 1) ‑ 2 а 2 + а =0 имеет два различных решения

5) имеет два различных решения

6) имеет единственное решение

7) имеет единственное решение

8) имеет два различных решения

9) имеет два различных решения

10) не имеет решений

Показательные уравнения

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным. Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение ах = b (a >0, а ¹1).

Решение показательного уравнения вида af (x)= ag (x) (a >0, а ¹1) основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f (x)= g (x).

Следствие. Пусть a >0, а ¹1. Если степени с основанием а равны, то их показатели равны, т.е. если as = at, то s = t.

Приведение обеих частей уравнения к одному основанию

Этот способ основан на свойстве степеней: если две степени равны и их основания равны, то равны и их показатели.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. ; ; х =4.

Ответ: 4

Пример 2. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ:

Задание 1. Решите уравнение…

1) =125	2) =	3) 27 х =	4) = ‑2	5) =625
6) =	7) 6 х =1296	8) =8	9) =	10) = ‑2,5

Пример 3. Решите уравнение .

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению или .

Решая квадратное уравнение, находим х ₁=2, х ₂=4. Эти числа являются корнями исходного показательного уравнения.

Ответ: 2; 4

Задание 2. Решите уравнение…

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)

Пример 4. Решите уравнение 102 х ‑ 5=100.

Решение. 102 х ‑ 5=100; 102 х ‑ 5=102; 2 х ‑ 5=2; отсюда х =3,5.

Ответ: 3,5

Пример 5. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ: 2

Задание 3. Решите уравнение…

1) 35 – 2 х =81	2) 48+5 х =1	3) 32 – х =27	4) 4 х 2+ х =16	5) 2 х +2=128
6) 2 х +1=16	7) 2 х – 1=32	8) 3 х 2 – х =1	9) 9 – х =27	10) 4 – х =16

Пример 6. Решите уравнение .

Решение. Уравнение решается приведением левой и правой частей к степеням с равными основаниями. 16 =2⁴×2^1/2=2^4,5.

Из уравнения 2 х 2‑6 х ‑2,5=2^4,5 получаем х ²‑6 х ‑2,5=4,5, откуда х = ‑1 и х =7.

Ответ: ‑ 1; 7

Пример 7. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ:

Пример 8. Найдите корень уравнения .

Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 3: .

Ответ:

Задание 4. Решите уравнение…

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)

Пример 9. Решите уравнение .

Решение. Приведем обе части уравнения к одному основанию:

; ; ;

; ; x = ‑ 2.

Ответ: ‑ 2

Пример 10. Найдите корень уравнения .

Решение. Перейдем к одному основанию степени: .

Ответ: 2

Пример 11. Найдите корень уравнения .

Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 3: .

Ответ: 1

Задание 5. Решите уравнение…

1)	2)	3) =	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10) =

Пример 12. Решите уравнение .

Решение. Воспользуемся свойством степени:

; ; . Отсюда х =2.

Ответ: 2

Задание 6. Решите уравнение…

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)

Пример 13. Решите уравнение .

Решение. ; ; ; 2 x =3; x = .

Ответ: