Решение показательных уравнений разложением на множители

Этот способ используется в уравнениях, в левой части которых записана сумма или разность степеней с одним основанием.

Причем, если a >1, выносится степень с меньшим показателем; если 0< a <1 – степень с большим показателем.

Пример 19. Решите уравнение .

Решение. Вынесем в левой части уравнения .

Получим ; ; 2 х – 1=2, х = .

Ответ:

Пример 20. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. Вынесем в левой части уравнения за скобки. Получим ; ; ; , , .

Промежутку принадлежит корень .

Ответ: ; 1

Задание 11. Решите уравнение…

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)

Пример 21. Решите уравнение .

Решение. Вынесем в левой части уравнения , в правой части за скобки: .

Получим .

Разделим обе части этого уравнения на и получим . Заметим, что равны не основания, а показатели.

Разделим обе части этого уравнения на . Тогда или . Отсюда х =4.

Ответ: 4

Пример 22. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. Вынесем в левой части уравнения за скобки. Получим ; ; ; , .

Промежутку принадлежит корень .

Ответ: 1; 1

Пример 23. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители: .

Промежутку принадлежат оба корня: и 1 ().

Ответ: ;

Задание 12. Решите уравнение…

1)

2)

Решение показательных уравнений заменой переменной

Уравнения вида сводятся к решению квадратного уравнения при помощи замены

Пример 24. Решите уравнение 52 х ‑ 6×5 х +5=0.

Решение. Положим 5 х = у. Тогда 52 х =(5 х)²= у ² и данное уравнение примет вид у ² ‑ 6 у +5=0. Корни этого уравнения: у ₁=1; у ₂=5. Следовательно, 5 х =1, т.е. х =0, и 5 х =5, т.е. х =1.

Ответ: 1

Пример 25. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. Преобразуем исходное уравнение . Получили квадратное уравнение относительно с коэффициентами 3, ‑ 8 и 5 и .

Отсюда , , ; , , .

Корень не принадлежит промежутку ; корень принадлежит промежутку ().

Ответ: ;

Задание 13. Решите уравнение…

1) 22x+2x ‑ 2=0	2) 32x ‑ 2×3x ‑ 3=0	3) 9x ‑ 8×3x ‑9=0	4) 100x ‑ 11×10x+10=0
5) 9x – 6×3x ‑27=0	6) 4x ‑ 14×2x ‑ 32=0	7) 49x ‑ 8×7x+7=0	8) 64x – 8x ‑56=0
9) 36x ‑ 4×6x ‑12=0	10) 9x+3x+1 – 108 =0

Пример 26. Решить уравнение .

Решение. Перепишем это уравнение в виде и введем новую переменную t = .

Получим квадратное уравнение относительно переменной t: , откуда t ₁=2, t ₂=8.

Этим значениям t соответствует два уравнения: и , откуда х =1 и х =3.

Ответ: 1; 3

Задание 14. Решите уравнение…

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)

Решение однородных показательных уравнений

Уравнения вида , где А ¹0, a >0, a ¹1, b >0, b ¹0, являются однородными.

Путем деления обеих частей таких уравнений на они сводятся к квадратным уравнениям вида .

Пример 27. Решите уравнение .

Решение. Преобразуем левую часть уравнения:

.

Разделим обе части полученного уравнения на :

. Пусть Тогда .

Корни этого уравнения t ₁=1, t ₂= .

Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: Û .

Ответ: 0; ‑ 1

Задание 15. Решите уравнение…

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)

Метод почленного деления

Суть метода в почленном делении уравнения, члены которого представляют собой степени с одинаковыми показателями и различными основаниями на одну из степеней.

При этом удобнее делить на степень с большим показателем.

Пример 28. Решите уравнение 9^х+6^х=2×4^х.

Решение. Разделим обе части уравнения на 4^х≠0, получим + =2, + ‑2=0. Обозначим = у, у >0, получим у ²+ у ‑2=0; y ₁= ‑2; у ₂=1. ‑2 не удовлетворяет условию у >0. Имеем =1. х =0.

Ответ: 0

Задание 16. Решите уравнение…

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)

Логарифмирование

Уравнения вида a ^f(x)= b ^g(x) (a >0, a ≠1, b >0, b ≠1), где f (x) и g (x) – элементарные функции, решаются логарифмированием обеих частей.

Уравнения вида , где a >0, a ¹1 имеет решение, если b > 0. Его решают логарифмированием по основанию a: . Тогда .

Пример 29. Решить уравнение .

Решение. Прологарифмируем уравнение по основанию 3.

Получаем: ; ; ; .

Ответ:

Задание 17. Решите уравнение…

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)

Пример 30. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение. Умножим обе части уравнения на положительное выражение , получим: , откуда и .

, , значит, указанному промежутку принадлежит только корень .

Ответ: 0,5; 2 и 2; 0,5

Пример 31. Решите уравнение .

Решение. Поскольку и при любых значениях х, то можно прологарифмировать обе части данного уравнения, например, по основанию 2:

; .

Далее раскроем скобки и выразим х: х +1=(2 – х) , откуда х + х =2 – 1, x = .

Ответ:

Задание 18. Решите уравнение…

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)