Показательно-степенные уравнения

Уравнения вида (переменная в основании и в показателе степени) называются показательно-степенными.

Уравнения этого вида не являются ни показательными, ни степенными. Их корнями являются решения системы: , а также те значения х, для которых f (x)=1 (если при этих значениях определены функции y (x) и h (x)), и те значения х, для которых f (x)£0.

При этом, если f (x)=0, то h (x)Î N и y (x)Î N; если f (x)<0, то h (x)Î Z и y (x)Î Z.

Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе.

Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).

I тип: уравнение вида Решение уравнения на ОДЗ сводится к решению совокупности

II тип: уравнение вида Решение уравнения на ОДЗ сводится к решению совокупности

Пример 32. Решить уравнение .

Решение. Проверим, какие из решений совокупности Û являются корнями исходного уравнения. Проверка показывает, что подходит только х = ‑ 2. Проверим, какие из корней уравнения удовлетворяют исходному. Имеем х =3 или х = ‑ 1. Оба корня подходят.

Ответ: ‑ 2; ‑ 1; 3

Задание 19. Решите уравнение…

1)	2)
3)

Уравнения с параметром

Пример 33. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

Решение. Сделаем замену . Тогда исходное уравнение примет вид . Для того чтобы оно имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен имел хотя бы один положительный корень, значит дискриминант должен быть больше нуля.

Поскольку , то условие D ³0 выполняется при а ³2 или а £ ‑ 6.

По теореме Виета, корни уравнения удовлетворяют системе уравнений .

При а £ ‑ 6 имеем , а , поэтому оба корня отрицательны, и, следовательно, исходное уравнение решений не имеет.

При а ³2 имеем , следовательно, хотя бы один из корней больше нуля.

Таким образом, уравнение имеет хотя бы одно решение при а ³2.

Ответ: [2; +∞)

Пример 34. Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

Решение. Сделаем замену . Тогда исходное уравнение примет вид . Для того чтобы оно имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен имел хотя бы один положительный корень, значит дискриминант должен быть больше нуля.

Поскольку , то условие выполняется при или .

По теореме Виета, корни уравнения удовлетворяют системе уравнений .

При имеем , а , поэтому оба корня отрицательны, и, следовательно, исходное уравнение решений не имеет.

При имеем , следовательно, хотя бы один из корней больше нуля. Таким образом, уравнение имеет хотя бы одно решение при .

Ответ:

Пример 35. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. Пусть . ; ; ; ; .

Так как , получаем если , то ; если , то . Поскольку при решением являются все положительные значения , уравнение имеет единственное решение, если

Ответ:

Задание 20. При каких значениях а уравнение…

1) 25х+5х×(2 ‑ 3 а)+2 а 2 ‑ 5 а ‑ 3=0 имеет одно решение

2) 9х ‑ 3х×(5 а +3)+6 а 2 +11 а ‑ 10=0 имеет одно решение

3) 4х ‑ 2х×(6 а ‑ 4)+5 а 2 – 4 а =0 имеет два различных решения

4) 36х+6х×(а ‑ 1) ‑ 2 а 2 + а =0 имеет два различных решения

5) имеет два различных решения

6) имеет единственное решение

7) имеет единственное решение

8) имеет два различных решения

9) имеет два различных решения

10) не имеет решений