Глава 2. Кратные интегралы. Продолжение

 

§1. Тройные и n-кратные интегралы

1.Определение тройного и n-кратного интеграла

Пусть D кубируема, ее площадь будем обозначать m D, функция f (M) = f (x, y, z) определена и ограничена в области D. Предположим, что D разбита поверхностями на кубируемые подобласти D_k  (совокупность { D_k } называется разбиением области D). В каждой из подобластей D_k выберем точку M_k =(x _k, h _k, z _k) Î D_k. Полученный набор точек обозначим X ={ M_k }. Интегральной суммой для набора f, разбиения D, набора промежуточных точек X называется выражение

          (1)

Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина l (D)= dD_k называется характеристикой разбиения D. Здесь  – диаметр множества D_k.

 Условие M_k Î D_k, для всех k мы будем обозначать X Î D.

Определение. Предел интегральных сумм s (f, D, X) при l (D) ® 0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек) называется тройным интегралом от функции f на D и обозначается

= .

Можно использовать обозначение = (вместо M можно использовать любую подходящую букву, например  ).

Более точно это определение выглядит следующим образом:

$ J " e >0 $ d >0:(l (D)< d, X Î D) Þ | s (f, D, X) - J|< e.

Понятие длины, площади, объема распространяется и на области n - мерного евклидова пространства. В этом случае говорят об измеримости множества D n - мерного пространства и о его мере m D. Для измеримой области D и определенной на ней функции f (x)= f (x ₁, x ₂,…, x_n) рассматривается разбиение этой области на измеримые множества { D_k }. В каждой из подобластей выбираются промежуточные точки x ^k =() Î D_k. Полученный набор точек обозначим X ={ x ^k }. Интегральной суммой для набора f, D, X называется выражение

            (1)

Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина l (D)= dD_k, где максимум берется по всем множествам разбиения, называется характеристикой разбиения D. Как и раньше,  – диаметр множества D_k, где точная верхняя грань берется по всевозможным точкам x =(x ₁, x ₂,…, x_n), y =(y ₁, y ₂,…, y_n) из D_k.

Определение. Предел интегральных сумм s (f, D, X) при l (D) ® 0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек) называется интегралом от функции f на D и обозначается

= .

Для n -кратных интегралов имеют места свойства, аналогичные свойствам, сформулированным для двойных интегралов. Перечислим некоторые из этих свойств.

1)

2) Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и

(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx.

 

3) Если f интегрируема на D, то cf (x) также интегрируема и

 =c .

4) Если f интегрируема на D, то | f | также интегрируема и

|  | £ .

5) Если f и g интегрируемы на D и f £ g на D, то

£  .

6) Если m £ f (x) £ M на D, то $ c Î [ m, M ]:

 = c m D.

Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то $ x Î D:

= f (x) m D.

7) Непрерывная на компакте функция интегрируема на этом компакте.

8) Если m D = 0, то для любой ограниченной функции f будет выполнено

f(x) dx=0.

2. Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда

Пусть V – прямоугольный параллелепипед [ a, b ] ´ [ c, d ] ´ [ g, h ] и функция f (x, y, z) определена на V. Обозначим прямоугольник [ c, d ] ´ [ g, h ] через D.

Теорема. Если существует  и для любого x Î [ a, b ] существует , то существует интеграл и имеет место равенство

= .

(здесь и в дальнейшем используются обозначения =  )

Доказательство. Рассмотрим разбиение D  области V:

D ={ a = x ₀ <…< x_n = b; c = y ₀ <…< y_m = d; g = z ₀ <…< z_l = h }.

Полученные подобласти обозначим V_ijk =[ x_i, x_{i +1} ] ´ [ y_j, y_{j +1} ] ´ [ z_k, z_{k +1} ], i =0,…, n -1, j =0,…, m -1, z =0,…, l -1. Кроме того, будем использовать обозначения X =(x, y, z)

m_ijk = , M_ijk = . Тогда для X Î V_ijk справедливы неравенства m_ijk £ f (X) £ M_ijk.

  Для набора промежуточных точек { x _i }, x _i Î [ x_i, x_{i +1} ] будет выполнено

m_ijk D y_j D z_k £ £ M_ijk D y_j D z_k,

m_ijk D y_j D z_k £ £ M_ijk D y_j D z_k,

Домножая последние неравенства на D x_i и суммируя, получим

m_ijk D x_i D y_j D z_k £ £ M_ijk D x_i D y_j D z_k.

Средняя сумма является интегральной суммой для интеграла , крайние суммы являются суммами Дарбу для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.

Аналогичные теоремы можно доказать для других порядков интегрирования. Таким образом, при выполнении соответствующих условий получаются равенства вида

= ,

= ,

= .

Через D_x, D_y, D_z обозначены проекции области V на координатные плоскости x =0, y =0, z =0, соответственно.

В свою очередь внутренние двойные интегралы можно представить в виде повторных. Для первого из написанных соотношений это будет выглядеть следующим образом

= ,

= .

(используются обозначения =  )

Теперь можно собирать внешние повторные интегралы в двойные, в результате получаться три равенства

= ,

= ,

= ,

Здесь D_xy =D_z =[a,b] ´ [c,d], D_zx=D_y =[g,h] ´ [a,b], D_yz =D_x = [c,d] ´ [g,h].

3. Сведение тройного интеграла к повторному интегралу для областей общего вида

Пусть V – область, расположенная между плоскостями x = a, x = b, L_x – плоскость параллельная координатной плоскости Oyz, проходящая через точку x. Для x Î [ a, b ] обозначим через D_x сечение V Ç L_x. Будем предполагать, что D_x квадрируемадля всех x Î [ a, b ]. При этих предположениях справедлива

Теорема. Если существует и для " x Î [ a, b ] существует I (x)= то существует и и

= .

Доказательство. Обозначим через R =[ a, b ] ´ [ c, d ] ´ [ g, h ] прямоугольный параллелепипед, содержащий область V и определим на R функцию

f ^* (M)= .

Тогда

= , R_x= [c,d] ´ [g,h].

Для левого и правого интегралов справедливы равенства

= + = .

= = .

Замечание. Сечение D_x = V Ç L_x может быть задано в виде

D_x = {(y, z): y ₁ (x) £ y £ y ₂ (x), z ₁ (x, y) £ z £ z ₂ (x, y)}.

В этом случае пределы интегрирования в тройном интеграле можно расставить следующим образом = = .

D – представляет собой проекцию V на плоскость z =0. Эту область можно также описать в виде

D = {(x,y):a £ x £ b, y₁(x) £ y £ y₂(x)}. Расставляя переменные x, y, z в другом порядке можно получить другие аналогичные формулы представления тройного интеграла через повторные.

4. Замена переменных в тройном и n -кратном интеграле

Пусть задано взаимно-однозначное, непрерывно - дифференцируемое отображение с якобианом, отличным от нуля

, (x, h, z) Î S

из S в V, где области S и V кубируемы. Тогда для объема области V справедлива формула

m V =                  (4).

Из этой формулы и теоремы о среднем следует, что

= m V = = m S.

Откуда следует, что в любой точке области M ₀ =(x ₀, h ₀, z ₀)

= .

Теорема (о замене переменных). Если f интегрируема в V, то

= .

Доказательство. Интегралы справа и слева существуют. Интегрируемость функции F (x, h, z)= f [ x (x, h, z), y (x, h, z), z (x, h, z)] на S доказывается так же, как и в случае двойного интеграла. Выберем какое-либо разбиение { S _j } области S и обозначим через { V_j } соответствующее разбиение области V. Согласно формуле (4)

m V_j = = m S _j.

Полученные таким образом точки M_j = (x _j, h _j, z _j) будем рассматривать как промежуточные точки для интегральных сумм функции F (x, h, z) и разбиения { S _j }, а соответствующие точки P_j = (x_j, y_j, z_j) для интегральных сумм функции f (x, y, z) и разбиения { V_j }. В этом случае

.

Из этого равенства следует требуемое утверждение.

Пример 1. Цилиндрические координаты

, x²+y²=z², 0 £ z £ 1

, .

В этом случае D = {(r, j, h): 0 £ j £ 2 p, 0 £ r £ z, " z Î [0,1]}.

= = = = = .

Пример 2. Сферические координаты

A= , x²+y²+z² £ 1, 0 £ x, 0 £ y, 0 £ z.

,  =  =

=-sin q (r ² sin q cos q sin² j + r ² sin q cos q cos² j)- r cos q (r cos² q sin² j + r cos² q cos² j) =

=-sin q r ² sin q cos q - r cos q r cos² q =- r ² cos q.

A = = = .

Пример 3. В интеграле расставить пределы интегрирования в порядке dxdzdy и dzdxdy.

Пример 4. Заменить тройной интегрлал однократным

= + = + = +

5. Замена переменных в общем случае

Рассмотрим регулярное отображение

( кратко x = x (u))

из области S в область V. При измеримости областей S, V справедлива формула замены переменных

 = ,

существование интегралов предполагается.