Глава 3. Криволинейные интегралы

 

§1. Криволинейные интегралы 1-го рода

1.Определение, существование

Рассмотрим спрямляемую кривую g  и функцию f (x, y, z), определенную на этой кривой

«Упорядоченный вдоль кривой» набор точек { T_k }, k =0,1,…, n называется разбиением кривой T ={ T_k }. На каждой дуге T_k T_{k +1} задана промежуточная точка X _k =(x _k, h _k, z _k), X ={ X _k }, обозначим длину дуги T_k T_{k +1}  через l_k, длину хорды, стягивающей дугу T_k T_{k +1}  обозначим D l_k. Характеристикой разбиения T назовем величину l (T) = max D l_k. Составим интегральные суммы следующего вида

s (f, T, X)=    (1).

Предел сумм (1) при стремлении к нулю характеристики разбиения l (T), при условии существования этого предела и независимости его от выбора промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 1-го рода и обозначается

.

Точное определение на кванторах дается так же, как и для обычного интеграла

$ J " e >0 $ d >0:(l (T)< d, X Î T) Þ | s (f,T, X) - J|< e.

Можно использовать эквивалентное определение, беря в качестве интегральных сумм суммы вида , где вместо длины хорды D l_k берется длина дуги l_k. Доказательство эквивалентности этих определений для гладкой кривой будет дано позже.

Замечание 1. Если кривая g плоская, (например, лежит в плоскости Oxy), и f = f (x, y), то интеграл обозначается .

Замечание 2. Интегральная сумма не изменится, если произвести поворот или сдвиг системы координат. Это свойство называется свойством инвариантности интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат.

Рассмотрим случай, когда кривая задана параметрически

, t Î [ a, b ]            (2)

Теорема 1. Если кривая (2) гладкая (непрерывно дифференцируема без особых точек

 (x ¢ ² + y ¢ ² + z ¢ ² ¹ 0)), функция f (x, y, z) непрерывна на (2), тогда криволинейный интеграл существует и имеет место равенство

= (3)

Доказательство. Для простоты будем рассматривать случай плоской кривой. Выберем разбиение { t_j } отрезка [ a, b ].

= = = + .

Второй интеграл в последнем равенстве можно сделать сколь угодно малым выбором достаточно мелкого разбиения. Действительно,

= . Знаменатель этой дроби ограничен снизу (у кривой нет особых точек и вторая теорема Вейерштрасса). Числитель можно сделать малым в силу равномерной непрерывности. Таким образом, пределом сумм будет интеграл

.

Для доказательства эквивалентности двух определений, для заданного разбиения { t_j } отрезка [ a, b ] промежуточные точки x _j выберем так,  что

,

соответствующие точки на кривой g обозначим X _k =(x (x _k), y (x _k)). Для интегральной суммы получим

= =

Полученная сумма является интегральной суммой для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.

Замечание. Отметим, что интеграл первого рода не зависит от выбора порядка точек разбиения { A_k } (что считать началом кривой, а что концом, что в дальнейшем будет определяться, как ориентация кривой). Точки A, B могут совпадать.

2. Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

1)

2) (Аддитивность по множеству) Если дуга AB составлена из двух дуг AC и CB и существует , то существуют  и  и справедлива формула

= +

1) Если существует , то существует и и выполнено неравенство £ .

2) (Инвариантность интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат) При поворотах системы координат вокруг осей и при сдвигах криволинейный интеграл не меняется.

Поясним это свойство на примере отображения

 

 (поворот на угол a  вокруг оси Oz)

Если функция f (x, y, z) определена на g, то в системе координат (u, v, w) функция

F(u,v,w)=f(u cos a - v sin a, u sin a + v cos a, w)

Будет определена на образе G кривой g. И в данном случае это свойство означает равенство интегралов

.

Доказательства свойств 1)-3) те же, что и для обычных интегралов. Для кусочно-гладкой кривой эти свойства следуют из соответствующих свойств обычного интеграла

.

Замечание. Свойство аддитивности интеграла по множеству позволяет распространить утверждение теоремы 1 предыдущего пункта на кусочно-гладкие кривые.

 

§2. Криволинейные интегралы 2-го рода

1.Определение, существование.

Рассмотрим кривую g  с началом в точке A и концом в точке B. Пусть T ={ T_k } разбиение кривой g и X ={ X _k }, X _k =(x _k, h _k, z _k), набор промежуточных точек, D x_j = x_{j +1} – x_j.

Для функции f (x, y, z), данной кривой, разбиения и набора промежуточных точекобразуем интегральные суммы

         (1)

Предел сумм (1)  при l (T) ® 0, если он не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 2-го рода и обозначается

         (2)

Характеристика разбиения определяется так же, как для интеграла первого рода l (T) = max D l_k. Аналогично можно определить интегралы

,        .

Замечание 1. Если началом кривой выбрать точку B, то все x_j меняют знак, поэтому

 = .

Замечание 2. Интегральная сумма не изменится, если произвести поворот или сдвиг системы координат. Это свойство называется свойством инвариантности интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат.

Теорема 1. Пусть кривая g задана в параметрическом виде

, t Î [ a, b ]            (3)

Если кривая (3) непрерывна, x (t) – непрерывно дифференцируема, функция f непрерывна на g, то интеграл (2) существует и имеет место формула

 = .

Доказательство. Для разбиения T ={ T_k }={(x (t_k), y (t_k), z (t_k)} и промежуточных точек

{ X _k }={(x (x _k), y (x _k), z (x _k)} можно интегральные суммы представить в виде

= =

Последнюю сумму в этом равенстве можно представить в виде

+ .

Здесь первая сумма является интегральной для интеграла , а вторая может быть сделана меньше любого наперед заданного e >0 выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции .

Замечание. Зачастую удобно рассматривать интегралы вида

+ + = = =

= = .

Интеграл  можно интерпретировать, как работу силового поля вдоль пути g.

2. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

Перечисляемые ниже свойства выписаны для интегралов вида , но они справедливы и для интегралов , , . Через g ^-- обозначается кривая, отличающаяся от g направлением обхода. Кривую g  будем предполагать кусочно-гладкой, а функции P, Q, R непрерывными

(  ), тогда

1) =

2) = a + b

3) (Аддитивность по множеству) Если существует интеграл  и кривая AB разбита точкой C на два участка AC, CB, то

= + .

4) Если существует интеграл , то

.

5) (Инвариантность интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат) При поворотах системы координат вокруг осей и при сдвигах криволинейный интеграл не меняется

Первое свойство следует непосредственно из определения криволинейного интеграла. Свойства 2)-3) доказываются так же, как и для обычных интегралов. Для кусочно гладкой кривой эти свойства следуют из свойств интегралов , , . Четвертое свойство будет доказано в следующем пункте.

Замечание. Свойство аддитивности интеграла по множеству позволяет распространить утверждение теоремы 1 предыдущего пункта на кусочно-гладкие кривые.

3. Связь с интегралом 1-го рода.

Рассмотрим кусочно-гладкую кривую g и непрерывную функцию f (x, y, z), определенную на g. Рассмотрим разбиение { T_k }={ x_k, y_k, z_k,} кривой g с промежуточными точками X ={ X _k }.

D x_k=x_k+1 - x_k= D l_k cos a _k. На рисунке отрезок BC проходит через точку T_k, параллельно оси Ox.

Поэтому

=

Слева стоят интегральные суммы для интеграла 2-го рода, а справа стоят суммы, которые при измельчении разбиения будут сходиться к интегралу , где a = a (x, y, z) - угол, который образует касательный вектор к кривой g в точке (x, y, z) с осью Ox, . Отсюда следует, что

= .

Докажем это.

= = + .

Первая сумма является интегральной для , вторая может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения (в силу равномерной непрерывности функции f [ x (t), y (t), z (t)] на [ a, b ]).

Аналогичные утверждения справедливы для интегралов по отношению к осям Oy, Oz. Откуда, в свою очередь, будет следовать равенство

= ,                 (4)

, , .

Обозначим орт вектора касательной  и введем понятие вектора элемента длины дуги . В этих обозначениях интеграл справа в (4) может быть записан в виде , это интеграл первого рода. Интеграл слева в (4) является интегралом второго рода и его принято обозначать . Таким образом, формула (4) в векторном виде может быть записана следующим образом

= .

Докажем четвертое свойство интеграла второго рода . Для интегральных сумм интеграла  (второе определение) можно записать

.

Определение. Кривая с заданным направлением обхода называется ориентированной кривой. Для замкнутой кривой, лежащей в плоскости z =0, положительным направлением обхода называется такое направление, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева.

Пример 1. (4225) Вычислить , g - дуга астроиды .

	Параметрическое уравнение астроиды

 

= = = = + = + = =

Пример 2. (4238) , g - окружность , x + y + z =0.

Сделаем поворот системы координат на 45 градусов вокруг оси Oz.	Это означает переход к новой системе координат

Согласно свойству инвариантности интеграла относительно поворотов

= , где G - окружность u ² + v ² + w ² = a ², u + w =0. Отметим, что этим поворотом мы «избавились» от одного переменного в уравнении плоскости. Попробуем избавиться таким же способом от второго переменного. Так как u + w = , то этого можно добиться, сделав поворот

	Обратное отображение

Это соответствует повороту на угол b, для которого  ,  .В новых координатах p, q, r уравнение плоскости будет иметь вид p = 0. Подинтегральная функция

u²-2uv+v²= . Кривая лежит в плоскости p =0, поэтому в качестве параметризации возьмем полярные координаты

= = = = = = .

Пример 3. (4248) Вычислить интеграл

, где g - 1) отрезек g ₁ = OA, O =(0,0), A =(1,2). 2) парабола g ₂ ={ y =2 x ² }, от O до A. 3) два отрезка g ₃ + g ₄: по оси Ox и вертикально вверх до точки A.

 

§3. Формула Грина

1.Формула Грина

Рассмотрим область типа A (см. рис.) D ={(x, y): y ₁ (x) £ y £ y ₂ (x), x Î [ a, b ]}, где y ₁ (x) £ y ₂ (x),  две непрерывные функции на отрезке [ a, b ].

Границу этой области с положительным направлением обхода обозначим G. Пусть в области D  задана функция P (x, y), непрерывная там вместе со своей частной производной . Тогда справедлива формула

= - . (1)

Доказательство. = = = - = - = .

Здесь используются равенства =0, =0, следующие непосредственно из определения интеграла. Аналогично, можно показать, что для области типа B (см. рис.)

справедлива формула

= . (2)

Если область является одновременно областью и типа A и типа B,

  то из (1), (2) для поля = (P, Q) получается формула

(3)

Формулы (1), (2), (3) называются формулами Грина.

Замечание. Формула (3) верна и для областей более общего вида. В частности, если область можно разбить непрерывными кривыми на конечное число областей, для каждой из которых формула (3) справедлива, то эта формула будет верна и для всей области.

Для области, показанной на рисунке, можно сделать разрез, как показано на рисунке.

Область разбивается на две области D ₁, D ₂ , для которых справедлива формула Грина.

Введем обозначения ¶ D ₁ = g ₁ + g ₂, ¶ D ₂ = g ₃ + g ₄ = G, тогда ¶ D = g ₁ + g ₄. При этом + =0. Тогда

= + = + = + + + = + = .

Пример 1. (4307) Вычислить . Контур C оринтирован положительно. Рассмотреть два случая: контур не содержит начало координат, контур содержит начало координат.

Обозначим через D область, ограниченную контуром C. Вычислим частные производные

= = ,

= = ,

Таким образом, в первом случае = =0.

Во втором случае формула Грина не может быть использована, так как поле (P, Q) имеет особенность в начале координат, которая попадает в область интегрирования. Выберем круг с центром в начале координат и достаточно малого радиуса r так, чтобы он содержался в области D. Границу этого круга, ориентированную положительно, обозначим C_r. Произведем два разреза кусочно-гладкими кривыми, соединяющие какие либо две точки границы контура C с какими либо точками окружности C_r. На рисунки в качестве разрезов выбраны отрезки прямой и показаны обозначения для некоторых кривых, образовавшихся в результате этих разрезов. Отметим, что

C = C ₁ + C ₈, = C ₃ + C ₆, C ₂ = , C ₄ = .

 

Внутри контуров C ₁ + C ₂ + C ₃ + C ₄ и C ₅ + C ₆ + C ₇ + C ₈ особенностей нет и, как было доказано, с Контур G = C ₁ + C ₂ + C ₃ + C ₄ + C ₅ + C ₆ + C ₇ + C ₈ не содержит внутри себя ни каких особенностей векторного поля (P, Q) и, поэтому к нему применима формула Грина

0 = = = = .

Таким образом. = = .

Пример 2. (4303) Вычислить , где AmB – верхняя полуокружность x ² + y ² = ax, начало - A (a,0), конец – B (0,0).

, . .

= = .

= = .

AB - имеет параметризацию  .

Тогда

= + = .

Пример 3. (4304) Вычислить , где функция f (y) – непрерывно дифферинцированная на проекции кривой AmB функция (проекция на ось Oy), AmB – кривая, соединяющая точки A, B, ограничивающая вместе в отрезком AB область D.

, . .

= .

= m m D = m m D .

AB - имеет параметризацию , A =(x ₀, y ₀), B =(x ₁, y ₁), D x = x ₁ - x ₀ , D y = y ₁ - y ₀.

Тогда

=

=

- = = .

= m m D+ .

2.Использование формулы Грина для вычисления площадей.

Если в качестве функций P, Q взять функции, для которых , то получится формула для вычисления площади области, ограниченной кривой g.

.

Можно предложить три варианта таких функций

1) Q = x, P =0 и тогда .

2) Q =0, P =- y и тогда .

3) Q = , P =   и тогда .

Пример 1. Вычислить площадь астроиды

 

= = = = = ab.

Пример 2. Вычислить площадь лемнискаты (x ² + y ²)²= a ² (x ² - y ²).

В полярных координатах .

Параметризация правой ветви .

= + = = = .

3. Условия независимости интеграла второго рода от пути интегрирования.

Определение. Область называется односвязной, если ее граница представляет собой связное множество. Область называется n -связной, если ее граница распадается на n - связных множеств.

Замечание. Формула Грина верна и для многосвязных областей.

Например, для области, показанной на рисунке произведены разрезы, соедеиняющие обе связные компоненты границы между собой.

Можно выписать цепочку равенств

= + = + = + + + + + + + = + + + = + = .

Замкнутая кривая называется контуром. Криволинейный интеграл второго рода в этом случае иногда обозначается .

До конца этого пункта будем считать, что область D -  открытое и односвязное множество, а функции P (x, y), Q (x, y) непрерывны в замыкании D  вместе со своими производными , .

Лемма. Для того, чтобы интеграл

          (4)

(A, B – любые точки из D) не зависел от пути интегрирования (а только от начальной и конечной точек A, B) необходимо и достаточно, чтобы по любой замкнутой кривой (по любому контуру) лежащей в D интеграл (4) был равен нулю

=0.

Интеграл  называется циркуляцией векторного поля V =(P, Q).

Доказательство (необходимость). Пусть (4)  не зависит от пути интегрирования. Рассмотрим произвольный контур C, лежащий в области D и выберем две произвольные точки A, B на этом контуре. Тогда кривую C можно представить, как объединение двух кривых G ₂ (из A в B, как на рисунке) и G ₁ (тоже из A в B, но по другой ветви), C =  + G₂.

По условию = , кроме того = , поэтому = + = - =0. Для доказательства достаточности рассмотрим две точки A, B в области D и два пути AB = G ₂, AB = G ₁ соединяющие эти две точки. Рассмотрим контур C =  + G₂. По условию =0, откуда, с учетом соотношения = + = - , следует требуемое равенство = . В этом доказательстве предполагается, что кривые G ₂, G ₁ не пересекаются. Самостоятельно доказать это утверждение для случая, показанного на рисунке ниже

Теорема 1. Для того, чтобы криволинейный интеграл (4) не зависел от пути интегрирования в D, необходимо и достаточно чтобы

в области D.                 (5)

Достаточность. Если (5) выполнено, то формуле Грина для любого контура C будет

=0,

откуда по лемме следует требуемое утверждение.

Необходимость. По лемме для любого контура = 0. Тогда по формуле Грина для области D, ограниченной этим контуром =0. По теореме о среднем 0= = или = =0. Переходя к пределу, стягивая контур к точке, получим, что в этой точке .

Теорема 2. Для того, чтобы криволинейный интеграл (4) не зависел от пути интегрирования в D, необходимо и достаточно чтобы подинтегральное выражение Pdx + Qdy являлось полным дифференциалом некоторой непрерывно дифференцируемой функции u (x, y) в области D

du = Pdx+Qdy        (6)

Достаточность. Пусть (6) выполнено, тогда , ,  и можно сослаться на теорему 1.

Необходимость. Пусть интеграл не зависит от пути интегрирования. Фиксируем некоторую точку A ₀ в области D и определим функцию

u(A) = u(x,y)= .

В этом случае

, x Î [ x, x + D x ] (x Î [ x + D x, x ]). Таким образом, существует производная = P. Аналогично, проверяется, что = Q. При сделанных предположениях функция u оказывается непрерывно - дифференцируемой и du = Pdx + Qdy.

Замечание 1. Условие односвязности области D в сформулированных теоремах существенно.

Р