Глава 5. Интегралы, зависящие от параметра

§1. Собственные интегралы, зависящие от параметра

1. Непрерывность интеграла от параметра

Рассмотрим интеграл

F (y) =

для области вида типа B, D ={(x, y): x ₁ (y) £ x £ x ₂ (y), y Î [ c, d ]}

Предполагается, что f определена в некоторой прямоугольной области R, содержащей D, как показано на рисунке (D - замкнутая ), x ₁ (y), x ₂ (y) непрерывные функции, определенные на [ c, d ].

Теорема. Если f непрерывна на R, x ₁ (y), x ₂ (y) непрерывны на [ c, d ], то F (y) непрерывна на [ c, d ].

Доказательство. Для заданного , используя равномерную непрерывность функции f можно подобрать D y так, что

= £  + + £ M|x₁(y+ D y)-x₁(y)|+(b - a) e + M| x₂(y+ D y)-x₂(y)|.

Здесь используется ограниченность функции f, | f | £ M. Отметим, что при доказательстве использовалось то, что функция определена на некотором объемлющем множестве R. Так, например, для интеграла   функция f  должна быть определена на отрезке [ A, B ], лежащем вне области D (см. рисунок)

Определение. Пусть функция f (x, y) определена на [ a, b ] для любого y Î Y. Говорят, что f (x, y) равномерно сходится к g (x) на [ a, b ] при y ® y ₀ если

" e >0 $ d >0 " x Î [a,b] " y Î U _d (y₀): |f(x,y) - g(x)|< e.

Это понятие является обобщением понятия равномерной сходимости функциональной последовательности f (x, y) равномерно сходится на [ a, b ] к g (x) при n ® ¥, где вместо дискретного переменного n (индекса) выступает «непрерывный» параметр y.

Теорема. (Аналог теоремы о непрерывности предельной функции, равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций). Если f (x, y) непрерывна и равномерно сходится к g (x) на [ a, b ] при y ® y ₀ , то функция g (x) непрерывна на [ a, b ].

Доказательство. Выпишем неравенства

| g (x)- g (x ₀)|=| g (x)- f (x, y) + f (x, y)- f (x ₀, y)- g (x ₀)+ f (x ₀, y)| £ | g (x)- f (x, y)|+ | f (x, y)- f (x ₀, y)|+ | g (x ₀)- f (x ₀, y)|. Для заданного e сначала выбираем d окрестность точки x ₀ так, чтобы в этой окрестности | f (x, y)- f (x ₀, y)|< e для любых y из некоторой окрестности точки y ₀. Это можно сделать в силу равномерной непрерывности функции f (x, y). Величины  | g (x)- f (x, y)|, | g (x ₀)- f (x ₀, y)| можно сделать также < e  выбором ещё меньшей окрестности точки y ₀ для всех x в силу равномерной сходимости f (x, y)  к g (x).

Теорема. (Аналог теоремы о переходе к пределу под знаком интеграла или, что тоже, о почленном интегрировании равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций). Если f (x, y) непрерывна и равномерно сходится к g (x) на [ a, b ] при y ® y ₀, то

.

Доказательство. | b - a | e.

2. Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Предположим, что область является областью типа А и В. Из формул выражения двойного интеграла через повторные следуют следующие формулы

F (y) = G(x)=

 

 

3. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Теорема (Лейбниц). Если f и   непрерывны в [ a, b ] ´ [ c, d ], то F (y) =

дифференцируема на [ c, d ] и .

Доказательство.

= = , 0< q <1. Тогда

£ .

Из этого неравенства и равномерной непрерывности функции   следует требуемое утверждение.

Рассмотрим область типа В, указанную на рисунке и функцию f, определенную на прямоугольнике R, содержащем область D.

Теорема. Если f и ее производная непрерывны на R, x ₁ (y), x ₂ (y) имеют непрерывные на [ c, d ] производные, то F (y) =  также имеет производную

+ - .

Доказательство. Рассмотрим функцию Ф(u, v, y) =  , определенную на прямоугольном параллелепипеде , Для нее существуют непрерывные частные производные . Непрерывность функции =   следует из равномерной непрерывности функции  . Дифференцируя сложную функцию F (y) = = Ф(y, x ₁ (y), x ₂ (y)) получим требуемое равенство.

§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

1. Равномерная сходимость несобственного интеграла от параметра

Рассмотрим интеграл

            (1)

, y Î Y.

Предположим, что при некоторых y  интеграл (1) является несобственным. Так, если и при некотором y  интеграл (1) имеет единственную особенность в b, то условием сходимости интеграла (1) будет существование конечного предела

.

Если при заданном y интеграл сходится, то для любого h Î [ a, b) интеграл  (называемый остатком) будет существовать и условие сходимости можно записать в виде . В случае расходимости этого интеграла, естественно считать, что условие  не выполнено. Таким образом, условие сходимости будет в дальнейшем записываться в виде

.

Определение. Пусть интеграл с параметром для всех или для некоторых y Î Y имеет единственную особенность в b (если b конечное, интеграл 2-го рода) или в + ¥ (интеграл 2-го рода). Сходящийся на Y интеграл называется равномерно сходящимся на Y, если

" e >0 $ d >0 " h Î (b - d, b) " y Î Y:     (для интеграла 2-го рода)

" e >0 $ M " h Î (M,+ µ) " y Î Y:       (для интеграла 1-го рода)

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости

Если существует функция g (x), определенная на [ a, b) (b – конечное или + ¥), интегрируемая на любом [ a, h), h Î (a, b) такая, что

1) |f(x,y)| £ g(x), a £ x < b, " y Î Y

2)  сходится,

то интеграл   сходится равномерно на Y.

Утверждение следует из неравенств .

Теорема. (Переход к пределу под знаком интеграла) Пусть и f (x, y) определена и непрерывна на [ a, b) по x для всех y Î Y. Если для любых h Î (a, b) функция f (x, y)  равномерно сходится к g (x) на [ a, b - h ] при y ® y ₀, интеграл  равномерно сходится на Y, сходится. Тогда

.

Доказательство.

= .

Для e >0 выбираем h так, что ,   для всех y (равномерная сходимость   и сходимость ). Для выбранного таким образом h можно найти окрестность точки y ₀, в которой (равномерная сходимость f (x, y)   к g (x) на [ a, b - h ]).

Критерий Коши равномерной сходимости (интеграла 2-го рода). Для равномерной сходимости интеграла  необходимо и достаточно, чтобы

" e >0 $ d >0 " y Î Y " h ¢, h ¢¢ Î (b- d,b): .

Достаточность. При выполнении условия для " y Î Y " h ¢, h ¢¢ Î (b - d, b) можно перейти к пределу при h ¢¢ ® b. Тогда для " y Î Y " h ¢ Î (b - d, b): , что означает равномерную сходимость интеграла .

Необходимость. Имеем " e >0 $ d >0 " y Î Y " h Î (b - d, b): . Тогда при h ¢, h ¢¢ Î (b - d, b) будет выполнено .

2. Непрерывность несобственного интеграла от параметра

Теорема 2. Если f (x, y) определена и непрерывна на [ a, b) ´ [ c, d ], интеграл F (y) =  сходится равномерно на [ c, d ], то этот интеграл является непрерывной функцией.

Доказательство.

| F (y + D y) - F (y)| = £ + + .

Второй и третий интегралы могут быть сделаны меньше заданного e выбором h в силу равномерной сходимости интеграла . После выбора h первый интеграл может быть сделан меньше заданного e выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции f (x, y) на прямоугольнике [ a, h ] [ c, d ].

3. Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Теорема. Если функция f (x, y) определена и непрерывна на [ a, b) ´ [ c, d ], интеграл F (y) = сходится равномерно на [ c, d ], существует интеграл , то

= = .

Доказательство. Для любого h Î [ a, b)

= . Отсюда следует требуемое утверждение, если учесть, что   сходится равномерно на [ c, d ] к   при h ® b. Действительно, .

Эту теорему можно обобщить

Теорема. Если функция f (x, y) определена и непрерывна на [ a, b) ´ [ c, d), интеграл сходится равномерно на любом [ c, h ], интеграл сходится равномерно на любом [ a, x ] и существует один из повторных интегралов

, , то существует и другой и выполняется равенство

= .

Без доказательства.

4. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

  Лемма. Если функция f (x, y) непрерывна на [ a, b) ´ [ c, d ], то сходимость интеграла эквивалентна условию: для любой последовательности h _k ® b, h ₀ = a, h _k Î [ a, b) сходится ряд . Аналогично для равномерной сходимости: для равномерная сходимость интеграла  на множестве Y эквивалентна условию: для любой последовательности h _k ® b, h ₀ = a, h _k Î [ a, b) равномерно на Y сходится функциональный ряд .

Это утверждение следует из определения предела  по Гейне и выражения для частичных сумм ряда .

Теорема. Пусть функции f (x, y) и непрерывны на [ a, b) ´ [ c, d ]. Если  сходится для всех y а  сходится равномерно на [ c, d ], то функция F (y) = дифференцируема на этом отрезке и

.

Доказательство. Пусть h _n ® b, h _n Î [ a, b), h ₀ = a.  Согласно лемме

F (y) = = . Таким образом, функциональный ряд   сходится для всех y. Далее, . Таким образом, ряд из производных сходится равномерно на [ c, d ]. По теореме о почленном дифференцировании функционального ряда = .

Пример. Гамма функция Эйлера Г(p) = , p > 0.

Г(p) непрерывна на (0, µ). Г(p) = + .

Докажем непрерывность функций ,  на (0, µ).

1) £ , p Î [ e, A ]. сходится и по признаку Вейерштрасса интеграл сходится равномерно на [ e, A ] и, следовательно, является непрерывной функцией на этом множестве [ e, A ].

2) £ , p Î [ e, A ]. сходится и по признаку Вейерштрасса интеграл сходится равномерно на [ e, A ] и, следовательно, является непрерывной функцией на множестве [ e, A ].

Для гамма функции Эйлера справедлива формула

           (1)

Это равенгство получается после замены x ® xy.

G (p) = = = .

2. Бэта функция Эйлера В(p, q) = , p > 0, q >0.

Сделаем замену  , dx = .

В(p, q) = = .

В(p, q) =                              (2)

3. Другие свойства функций Эйлера

Из формулы (1) следует, что

, . Интегрируя, получим  . Откуда, используя (2)

.

В(p,1- p) = Г  Г = = ,0< p <1.

 

Г(1) = 1, Г(p +1) = p Г(p).

Отметим, что из этой формулы следует, что Гамма функцию достаточно знать на интервале (0, 1/2).

Интеграл   сходится для p >0 и   сходится равномерно на любом отрезке [ e, A ], для 0 < e < A. Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Докажем равномерную сходимость интегралов .

В окрестности нуля | ln x | £ для d > 0 существует C ₁ (d).

В окрестности бесконечности | ln x | £ для d > 0 существует C ₂ (d).

Равномерная сходимость интеграла Г^{( k )} (p)=   на любом отрезке [ e, A ]  следует из оценок £ +   £ + , для всех p Î [ e, A ]. Здесь для e >0 следует выбрать d так, чтобы e - k d оставалось больше нуля.

4. Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра

Формула Фруллани. Функция f (x) непрерывна и интеграл  существует для любого A > 0.

= , = = = = =- f (0) .

= f(0) , (a>0,b>0).

Интегрированием по частям вычисляются интегралы

, a ³ 0, , a ³ 0.

Другой способ: Положим g = - a + i b, , откуда и следуют указанные формулы.

Вычислить

.

, = ,

Интеграл Пуассона

I = .

I ² = = = = = = .

Интеграл I = .

Интегрирование по частям I = = = .

= I, , I = C , I(0) = = = , I = .

Вычислить интеграл F (a, b) = , a >0, b >0       (1)

(2),

из (2) F (a, b) = +С(b).

= = =

F(a,b) = +C(b)= +C(b).

p ln b = F(b,b)= p ln 2 + C(b), C(b) = p .

Глава 6. Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты

 

§1. Преобразования базисов и координат

1.Отображение областей. Криволинейные координаты

Рассмотрим область V в системе координат  (x, y, z) и область D в системе координат (x ¹, x ², x ³).

Кроме того, пусть задано взаимно-однозначное соответствие между этими областями, осуществляемое регулярным отображением (регулярное – взаимно-однозначное и такое, что прямое и обратное непрерывно дифференцируемы)

   (1)

Будем предполагать, что матрица Якоби отображения (1) не вырождена всюду в области D. Наборы координат (x, y, z) и (x ¹, x ², x ³) можно интерпретировать следующим образом: каждая точка M из области V определяется, как ее исходными координатами (в дальнейшем это будут декартовы координаты), так и координатами (x ¹, x ², x ³), которые в отличии от исходных координат называются криволинейными координатами. В основе этой терминологии лежит геометрический подход. Так, если в (1) фиксировать две из трех координат x ¹, x ², x ³, то получим линию, которая называется координатной линией. Множество всевозможных линий, полученных фиксированием второй и третьей координат обозначим S ₁ (параметром линии служит первая координата x ₁). Аналогично определяются еще два семейства линий S ₂, S ₃. При сделанных предположениях через каждую точку будет проходить ровно по одной линии из этих семейств. Таким образом, задание точки однозначно определяется заданием трех линий l ₁ Î S ₁, l ₂ Î S ₂, l ₃ Î S ₃. Наряду с координатными линиями можно рассматривать координатные поверхности, которые получаются, если в (1) фиксировать одну из координат, а остальные две рассматривать, как параметры.

       Рассмотрим три координатные линии, проходящие через заданную точку области V

Касательные вектора в точке пересечения этих линий обозначим через

                   (2)

Эти вектора образуют базис, так как они не компланарны

.

Для данного базиса единственным образом можно определить базис ¹, ², ³ такой, что (, ^j)= . Подробнее об этом речь пойдет в одном из следующих пунктах. Такой базис называется взаимным. Векторы взаимного базиса определяются по формулам

¹= , ²= , ³= . (3)

Определение. Криволинейная система координат (1) называется ортогональной, если в каждой точке области V базис (2) является ортогональным.

В случае ортогональной системы координат формулы (3) упрощаются. Будем предполагать, что тройка  правая. Положим H ₁ = , H ₂ = , H ₃ = , величины H ₁, H ₂, H ₃ называются коэффициентами Ламэ. В силу ортогональности (тройка правая)

= H₁ H₂ H₃, = H₂ H₃ , = H₃ H₁ , = H₁ H₂ .

Откуда следует, что

= , = , = .

2. Наиболее употребительные случаи криволинейных координат в пространстве

Цилиндрические координаты

x1=r	x2= j		x3=h
1 =(cos j, sin j, 0)	2 =r (- sin j, cos j, 0)		3 =(0, 0, 1)
H1=1	H2=r		H3=1

Система цилиндрических координат ортогональна и = = r,

= , = = , = .

Сферические координаты

x1= r	x2= j		x3= q, q Î [- p /2, p /2]
1 = (cos q cos j, cos q sin j, sin q)	2 = r cos q (-sin j,cos j,0)		3 = r (-sin q cos j, - sin q sin j, cos q)
H1=1	H2= r sin q,		H3= r.

Система сферических координат ортогональна и = = r ² cos q,

3. Взаимные, сопряженные базисы

В дальнейшем речь пойдет о базисах в трехмерном пространстве.

Определение. Базисы r _i, r ^k называются взаимными или сопряженными, если выполнено условие

( r _i, r ^k) = .

Теорема. Для любого базиса r _i существует единственный взаимный базис.

Из условия r ¹   r ₂,   r ¹   r ₃, поэтому этот вектор надо искать в виде c [ r ₂ , r ₃ ], из условия ( r ₁, r ¹) = 1  находится множитель c. Таким образом,

r ¹ = [ r ₂ , r ₃ ]/( r ₁, r ₂, r ₃), r ² = [ r ₃ , r ₁ ]/( r ₁, r ₂, r ₃), r ³ = [ r ₁ , r ₂ ]/( r ₁, r ₂, r ₃).

Любой вектор пространства можно разложить по базисам

x = x_k r ^k =   r _k x^k.

Координаты x_k называются ковариантными координатами, а x^k – контравариантными координатами.

Соглашение 1. В любом выражении, состоящем из некоторого числа сомножителей, наличие индекса у двух сомножителей на разных уровнях будет означать суммирование по этому индексу от 1 до 3. Следует придерживать единого порядка написания индексов суммирования. Договоримся при написании этих индексов следовать правилу: «левый внизу, правый вверху».

Соглашение 2. Иногда, если не возникает путаницы, стрелка над вектором будет опускаться. То же самое касается жирности шрифта для обозначения вектора ( r = r, если не возникает путаницы).

Например, формулы разложений по базисам будут выглядеть следующим образом

x = x_k r^k = r_k x^k.

Еще один пример: a_i c^j = a_i c^j.

Найдем выражение для ко и контравариантных координат

x = x_i rⁱ = r_i xⁱ Þ

 x_i = (x, r_i), xⁱ = (x, rⁱ)        (1).

Подставляя выражения для координат в разложения вектора, получим формулы Гиббса

x = (x, r_i) rⁱ = r_i (x, rⁱ)                    (2)

Подставим выражения x из формул Гиббса (2) в (1)

x_i = (x, r_j)(r^j, rⁱ) = x_j g^ji (3)

xⁱ = (r_j, r_i) (x, r^j) = g_ji x^j (4)

Матрицы g^ji = (r^j, rⁱ), g_ji = (r_j, r_i) симметричны и называются метрическими тензорами. Беря в качестве x в формуле (2) вектора r_j, r^j получим формулы, связывающие векторы взаимных базисов с помощью метрических тензоров

r_j = g_ji rⁱ

r^j = r_i g^ji.

Подобные операции носят название операций поднимания и опускания индекса с помощью метрического тензора. Умножим первое равенство на r^k второе на r_k, получим

  = g_ji g^ik

= g_ik g^ji.

Эти равенства показывают, что матрицы метрических тензоров взаимно обратные.

4. Преобразование координат

Даны базисы e_i,   и eⁱ, ⁱ. Обозначим матрицы, связывающие эти базисы , , , .

_i = e_j  , e_i = _j      Þ    =   (5)

Равенство =  в развернутом виде выглядит следующим образом

= ,

Таким образом, если придерживаться правила порядка написания индексов суммирования: «левый внизу, правый вверху», то для матриц верхний индекс указывает номер строки, а нижний – номер столбца.

^j = eⁱ, e^j = ⁱ Þ    = (6)

Последнее равенство в матричном виде:

= .

Умножая первое равенство из (5) на e^k  , а второе равенство из (6) на _k получим выражения для матриц перехода между базисами

( _i, e^k) = (e_j , e^k)= = ,

 (e^k, _i)= ( ^j, _i)= = .

Таким образом, = . Аналогично показывается, что