Решение задач нестационарной теплопроводности.

Решить задачу нестационарной теплопроводности это значит найти зависимость изменения температуры и количество теплоты переданной телу во времени для любой точки тела:

t = f (x; y; z; τ) и Q = φ (x; y; z; τ).

Для аналитического нахождения этих зависимостей может быть использовано дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье:

       .                                

Это уравнение решается с помощью рядов Фурье. Аналитическое решение получается очень сложным и возможно лишь для тел простой формы (пластины, цилиндра и шара) при целом ряде упрощающих предпосылок.

Аналитическое описание процесса теплопроводности кроме дифференциального уравнения также включает в себя и условия однозначности.

 

Условия однозначности задаются в виде:

· физических параметров , , ;

· формы и геометрических размеров объекта ;

· температуры тела в начальный момент времени ; t = t₀ = f(x, у, z).

· граничных условий, которые могут быть заданы в виде граничных условий третьего рода:

    .                                     

 

Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с условиями однозначности дает законченную математическую формулировку рассматриваемой задачи. Решение ее заключается в отыскании функции, которая удовлетворяла бы уравнению и условиям однозначности.

 

                     t=f(x,y,z,i,a,t₀,t_ж,  )                                

 

Если решить это уравнение для плоской стенки и рассмотреть процесс изменения температуры только в одном направлении x, то решение будет иметь следующий вид:

        ,                          

где b и c определяются из условий стационарности процесса, т.е. при ;

,  - из граничных условий 3 рода;

 - из начальных условий, т.е. при .

 

Из уравнения видно, что искомая функция t зависит от большого числа переменных, которые можно сгруппировать в 3 безразмерных комплекса, эти комплексы называются числами подобия.

 

Первое число подобия - Число Био: 

,

где  - коэффициент теплоотдачи на границе жидкости и твердого тела;

   λ - коэффициент теплопроводности твердого тела;

  l - характеристический размер, который определяется в зависимости от формы тела:

для пластины          l =δ;

для цилиндра          l = ;

для шара                 l = .

 

Второе число подобия - Число Фурье:

,                                         

где a - коэффициент температуропроводности;

  τ – время.

Число Фурье называют также безразмерным временем.                                                   

Третий безразмерный комплекс - безразмерная координата:

.

Установлено, что θ - безразмерная температура, является функцией чисел Био и Фурье, для фиксированных значений , т.е.

Рисунок 1.6.3

.

Изменение безразмерной температуры θ для центра ( ) и поверхности () можно представить графическим решением, которое приведено на рисунке 1.6.3.

                   

Подобные графики построены для центра и поверхности пластины, цилиндра и шара, а так же для безразмерного количества теплоты, которая является функцией числа Bi и :

.

Следовательно, чтобы определить температуру на поверхности или в центре тела необходимо знать две величины: число Bi и число .

Таким образом, метод решения задач нестационарной теплопроводности заключается в следующем:

1) задаются геометрическими, начальными и граничными условиями [(с;λ; ; ;α; ),( или )];

2) вычисляют числа Bi и ;

,                        ;

3) зная числа Bi и по графику, определяют безразмерную температуру θ;

4) определив θ, рассчитывают температуру в центре

или на поверхности тела

,

где  - начальная температура тела;

 - температура среды.

 

Рассмотрим влияние значений чисел Bi на распределение температуры в теле на примере охлаждения пластины.

 

Рисунок 1.6.4

Из полученного решения следует, что для любого момента времени температурное поле имеет вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины ( ). В каждый последующий момент будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхности (рис. 1.6.4).

 

Для любого момента времени касательные к кривым в точках  проходят через направляющие точки +А и

 – А, которые расположены на расстоянии от поверхности пластины, причем

   или ,

 

отсюда , т.е. расстояние до точки А полностью определяется условиями однозначности.

Сказанное справедливо для всех поверхностей.