Теплообмен излучением в системе произвольно расположенных тел

 

Рассмотрим два черных тела с изотермическими поверхностями с температурами Т₁ и Т₂. Самооблучение отсутствует, т.е. . Необходимо найти поток результирующего излучения.

Выделим элементарные площадки  и , бесконечно малые по сравнению с расстоянием r между их центрами.

Лучистый поток, падающий с элементарной площадки  на площадку , составит:

.

Тепловой поток, падающий с  на , равен:

.

Элементарные телесные углы можно представить соотношениями:

;                          .

Яркость излучения каждой из площадок можно выразить через плотность полусферического излучения. Тогда зависимости примут вид:

;

.

Введем обозначения:

;

,

где , - элементарные угловые коэффициенты излучения, тогда:

;

.

Здесь  и - полные элементарные потоки собственного излучения, испускаемые площадками  и  во всех направлениях.

Из последних зависимостей:

;                          .

Элементарный угловой коэффициент излучения характеризует долю энергии излучения, которая попадает с элементарной площадки одного тела на элементарную площадку другого тела по отношению к полному лучистому потоку, испускаемому элементарной площадкой первого тела.

Произведение элементарного углового коэффициента излучения на величину соответствующей элементарной площадки называется элементарной взаимной поверхностью излучения.

;                            ,

тогда:

;                           .

Введем местные (локальные) значения угловых коэффициентов излучения или местные коэффициенты облученности:

;

.

Местные значения потоков излучения элементарных площадок  и  на конечные поверхности  и :

;

.

Из этих зависимостей следует:

;                           .

 и  носят название местных угловых коэффициентов излучения. Они характеризуют долю энергии, испускаемой элементарной площадкой одного тела на конечную поверхность другого тела.

Взаимная поверхность излучения:

;                           ,

при этом = .

Найдем результирующий поток излучения:

.

Для получения , Вт, необходимо это уравнение проинтегрировать.

Предварительно введем понятия средних угловых коэффициентов излучения:

;                           .

Средние угловые коэффициенты позволяют найти:

;                           .

Результирующий поток излучения определяется разностью:

.

Средние угловые коэффициенты излучения через соответствующие лучистые потоки равны:

;                           .

Средний угловой коэффициент излучения характеризует долю энергии, которая падает с тела, имеющего конечную площадь поверхности , на другое тело с площадью поверхности  по отношению к полному потоку собственного излучения первого тела.

Средние взаимные поверхности излучения:

;                           ,

тогда результирующий поток  определится как:

.

С учетом того, что , получим:

.

Если рассматривать излучение серых тел, то для расчета результирующего потока излучения необходимо использовать вместо собственного потока E поток эффективного излучения:

.

Используя свойство взаимности и учитывая, что результирующий поток можно определить, как , получим следующую формулу для серых тел:

.

Угловые коэффициенты являются геометрическими характеристиками и зависят от размеров, формы обоих излучающих тел и их взаимного расположения. Вычисление углового коэффициента представляет большие математические трудности даже для простейших случаев, и поэтому его определяют графическим путем. При решении технических задач значения угловых коэффициентов берутся из таблиц.

Частные случаи

1) Теплообмен излучением между параллельными пластинами.

 

 

Для параллельных тел углы  и  равны нулю; углы , тогда:

.

Разделив числитель и знаменатель на , получим:

 ,

 

где , ; или можно записать так:

,

где  - приведенный коэффициент излучения.