Вопрос 16. ЛНДУ- n с постоянными коэффициентами: отыскание частного решения методом неопределенных коэффициентов по виду правой части специального вида (все случаи доказывать).

                  (1)

L(y)=0          (2)          ОЛДУ-n

            (3)

XY:                (4)

            (5)

1.А - не корень ХУ (  в (1))

y_чн=Q_m(x)=C₀x^m+C₁x^m-1+…+C_m,

y_чн^’=C₀mx^m-1+…+C_m-1=Q^’_m(x), Q^’_m(x)-многочлен степени (m-1)

y^’’_чн=………..=Q^’’_m(x), Q^’’_m(x)-многочлен степени (m-2)

y⁽ⁿ⁾_чн=…..=Q⁽ⁿ⁾_m(x)

(6) и (7) в (1) и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях получим: (m+1) – алгебраических выражений для определения C₁………

 

1.Б λ_1,2,3….,s=0-корень ХУ (4) кратности s, тогда уравнение (1) будет иметь вид:

a₀y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_n-sy^(s)=f(x)           (8)

ХУ: a₀λⁿ+a₁λ^n-1+….+a_n-sλ^s=0

λ(a₀ λ^n-s+a₁ λ^n-1-s+…+a_n-s-1)=0

(8)-ДУ-n, допускающие понижение порядка, тип 2⁰

(9)

a₀p^(n-s)+a₁p^(n-s-1)+….+a_n-sp=f(x) НЛДУ-(n-s) порядка

ХУ: a₀ λ^n-s+a₁ λ^n-s-1+….+a_n-s=0                 (11)

при чем λ=0 – не корень ХУ (11), тогда по случаю 1.А P_чн=Q_m(x)=C₀x^m+C_m, но P_чн=y^(s)_чн (смотри (9), тогда

y^(s)_чн=Q_m(x) ДУ, допускающее понижение порядка (тип 1)

Достаточно: y_чн=x^sQ_m(x)

 

2⁰ f(x)=e^αxP_m(x)=e^αx(b₀x^m+b₁x^m-1+….+b_m)

y’’+a₁y’+a₂=e^αxP_m(x)             (13)

y=e^αxz(x)    (14)               λ²+a₁λ+a₂=0              (*)

y’=z’e^αx+αze^αx=e^αx(z’+αz)

z’’=z’’e^αx+2αz’e^αx+α²ze^αx=e^αx(z’’+2αz’+α²z)

(14) в (13) и сокращаем на e^αx:

z’’+2αz’+α²z+a₁(z’+αz)+a₂z=P_m(x)

z’’+(2α+a₁)z’+ (α²+a₁α+a₂)z=P_m(x) (15)

 

2.А α-не корень ХУ (*)

Тогда в левой части (15) все члены 1.А z_чн=Qm(x)=C₁x^m+C₂x^m-1+…+C_m            

yчн e^αxQ_m(x)

 

2.B α-корень ХУ (*) кратности 1

α²+a₁α+a₂=0, т.е. в (15) нет члена с z (случай 1.B)

yчн=x¹e^αxQ_m(x)

 

2.C α-корень ХУ(*) кратности 2, т.е. λ₁= λ₂=α По Теореме виета Þ λ₁+ λ₂= -a₁ , 2 λ₁= -a₁Þ2 λ₁+a₁=0

Þ в (15) не будет z и z’’, по случаю 1.B

z_чн=x²Q_m(x)

y_чн=x²e^αxQ_m(x) (16)

2.D В общем случае. α –корень ХУ(4) кратности s,

y_чн=x^se^αxQ_m(x)=x^se ^αx(C₀x^m+……+C^m)                (17)

 

3⁰ f(x)=e^αx[P_m(x)cosβx+R_k(x)sinβx]    (18)

cosβx=

sinβx=

f(x)=f₁(x)+f₂(x)

Известно, если L(y)=f₁(x)+f₂(x)  НЛДУ-n

y_чн=y_чн1+y_чн2

Случай 3⁰ свелся к случаю 2⁰

3.A Если α±iβ-не корень ХУ

yчн= , r=наиб{m,k}    (19)

3.B Если α±iβ-не корень ХУ кратности S

y_чн=         (20)

18.Доказать теоремы:

 (1)

S_n= = a₁+a₂+a₃+….+a_n (2)

r_n= = a_n+1+a_n+2+… остаток ряда (3)

Теорема о сходимости остатка ряда:

Если ряд (1) сходится, то остаток ряда (3) тоже сходится.

Дано: S_n=S-конечное число ( - сходится)

Доказать: lim r_n,k= конечное число

a₁+a₂+a₃+….+a_n + a_n+1+a_n+2+… 

a₁+a₂+a₃+….+a_k+a_k+1+a_k+2+…

S_k= a₁+a₂+a₃+….+a_k

S_n= a₁+a₂+a₃+….+a_n 

r_k= a_k+1+a_k+2+…

r_n= a_n+1+a_n+2+… 

S_n= S_k+ r_n,k

r_k= S_n- S_k, S_k-конечное число слагаемых

 r_n,k= (S_n- S_k)=  S_n-  S_k=S- S_k – конечное число,(я не знаю как сделать пояснения по ходу,в лекции в кружок обводили,

Поэтому буду в скобках писать  S_n=S,  S_k= S_k,и еще не уверен насчет того к чему стремятся пределы)

r_n,k-остаток,это ряд(!!!!!!!!!!!!!!)

Смысл теоремы: отбрасывание нескольких первых членов ряда не влияет на сходимость этого ряда

Теорема о сходимости ряда к нулю:

Если ряд (1) сходится, то остаток r_n стремится к 0

Доказательство:  S_n=S

= a₁+a₂+a₃+….+a_n + a_n+1+a_n+2+… (S_n и r_n те же что и выше, r_k- остаток,это ряд(!!!!!!!!!!!!!!))

Дано S= S_n+ r_n=> r_n=S- S_n

 r_n= (S- S_n)=S-  S_n=S-S=0

Необходимое условие сходимости ряда:

Для того чтобы сходился, необходимо чтобы  a_n=0    (4)

Доказательство: S_n= a₁+a₂+a₃+….+a_n 

                        S_n+1= a₁+a₂+a₃+….+a_n + a_n+1

a_n+1= S_n+1- S_n

 a_n+1= (S_n+1- S_n)= (Если сходится, то  S_n=S,  S_n+1=S)=S-S=0

Теоремы о действиях со сходящимися рядами:

1)Если = S сходится,то ряд тоже сходится и =cS

Док-во:

Дано: S_n= a₁+a₂+a₃+….+a_n  S_n=S, тогда σ_n= ca₁+a₂+ca₃+….+ca_n= =c(a₁+a₂+a₃+….+a_n)=cS_n, тогда  σ_n = cS_n= cS_n

2)Если сходятся ряды = S_A, = S_B, то сходится (a_n±b_n)= S_A± S_B

Док-во: (S_n)_A= a₁+a₂+a₃+….+a_n 

         (S_n)_B= b₁+b₂+b₃+….+b_n 

σ_n = (a_n±b_n)= (a₁±b₁)+ (a₂±b₂)+…+ (a_n±b_n)=(a₁+a₂+a₃+….+a_n) ±(b₁+b₂+b₃+….+b_n)= (S_n)_A± (S_n)_B

 σ_n = ((S_n)_A± (S_n)_B)= S_A± S_B

19.Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения. Модифицированный признак сравнения(доказать).Доказать достаточные признаки сходимости.\ Даламбера, Коши (радикальный, интегральный)

a_n                     (1)

(1) Всегда имеет сумму

А) Если S – конечна  сходится

Б) Если S – бескон  рассходится

Необходимое условие сходимости (обычное)

Признаки сравнения

Если a_n b_n, то

a_n- мажорируемый ряд               

b_n -мажорирующий ряд

Теорема:

Пусть  (a_n<b_n)

1) Если  сходится, то и сходится

2) Если  расходится то и  расходится

Доказательство

(Sn) A=  

(Sn) B=            

(Sn)A (Sn)B ,     S_{A B}             (2)

Из(2)  Если  – сходится, то _B -конечная => S_A -конечная < _B => - сходится

Из(2)  Если - – расходится, то S_A -бесконечная => _B -бесконечная > S_A => - расходится