Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда.

Теорема. Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемого на некотором отрезке [о, Ь], есть функция, непрерывная на этом отрезке.

Доказательство.

U₁(x)+U₂ (x)+U₃ (x) +…    (1)

S(x)=S_n(x)+R_n(x)

S_n= U₁(x)+…+U_n (x)

R_n(x)= U_n+1(x)+U_n+2 (x)+…

Возьмем на отрезке [а, b] произвольное значение аргумента х и придадим ему такое приращение D х, чтобы точка х +Dx лежала тоже на отрезке [a, b].

Введем обозначения:

DS = S (x + D х)— S (х), D S_n = S_n (х +D х) — S_n (х),

тогда

D S = D S_n + R_n (x + D х) - R_n (х),

откуда

|DS| ≤ | D S_n | + | R _п (х+ D х) | + | R_n (x) |.    (2)

Это неравенство справедливо для любого номера п.

Чтобы доказать непрерывность S (х), нужно показать, что при любом наперед заданном и как угодно малом e > 0 найдется число s > 0 такое, что при всех | Dx | < s будет | D S | < e.

Так как данный ряд (1) мажорируемый, то при любом наперед заданном e > 0 найдется такой номер N, что при всех п ≥ N, будет выполняться неравенство

| R_N (x) | < e/3  (3)

при любом х из отрезка [a, b]. Значение х+ D х лежит на отрезке [а, b] и потому выполняется неравенство

| R_N (x + D x) | < e/3.        (3')

Далее, при выбранном N частичная сумма S_N (х) есть функ­ция непрерывная (сумма конечного числа непрерывных функций) и, следовательно, можно подобрать такое положительное число s, что для всякого D х, удовлетворяющего условию | Dx | < s, выполняется неравенство,

| D S (x) | < e/3. (4)

На основании неравенств (2), (3), (3') и (4) получаем

| D S(x) | < e/3 + e/3 + e/3 = e

т. е.

| D S(x) | < e при | Dx | < s,

а это и означает, что S (х) является непрерывной функцией в точке х (и, следовательно, в любой точке отрезка [a, b]).

Замечание. Из доказанной теоремы следует, что если сумма ряда на каком-либо отрезке [а, b] разрывна, то ряд не мажорируем на этом отрезке.

T) (о почленном интегрировании)

Если ряд сходится равномерно в <a,b>, то , где [a₁, x] Ì <a,b>

Доказательство.

S(x)=S_n(x)+R_n(x)

 

½ =

       ­ <e (в силу равномерной сходимости)

 

 

e (b-a) ≥ Þ

­ e₁

В итоге Þ

Т) (о почленном дифференцировании)

Пусть: 1) дан  (сходится " x Î <a,b>)

2) U_n(x) – непрерывно дифференцируемы в <a,b>, т.е. $ U’_n(x) " x <a,b>

3)  – сходится равномерно в <a,b>

 – непрерывная функция

Тогда

Доказательство: на теоремы о почленном интегрировании  можно почленно интегрировать на [a₁, x] Ì <a,b>

 

S(x)-S(a₁)=

(S(x)-S(a₁))’_x=

S’(x)=F(x)

S’(x)=F(x)=

23)Степенные ряды, обобщенные степенные ряды: осн. понятия и определения. Обл. сходимости степенного ряда. Доказать теор. Абеля для степ. ряда. Свойства рядов: а)непрерывность суммы степ. ряда; б)о почленном интегрировании; в)о почленном интегрировании.

О Степенным рядом наз-ся функциональный ряд вида

Областью сходимости степ. Ряда явл. некоторый интервал, который, в частности, может выражаться в точку

Т Абеля Пусть дан  (1)

           А)Если (1) сх-ся при , то он сх-ся  абсолютно

           Б)Если (1) расх-ся при , то он расх-ся

Д-во: А) Дано: - сх-ся, т.е.  – сх-ся, т.е.  ограничена, т.е.

Тогда: - сх-ся  – сх-ся и притом абсолютно

Б) Дано  – расх-ся. Пусть . Предположим, что  – сх-ся (, тогда по части (А)  должен сходиться,что противоречит условию. Теор. док.

Свойства рядов:

Т Сумма степ. Ряда – непрер-я ф-я в ОС, т.е. если , то S(x)-непрер. в

Т Степ. ряд в ОС моно почленно интегрировать и при этом  

Т Степ. ряд можно дифференцировать в ОС и при этом: 1) ; 2) OC:

 

Вопрос

PU y(x)= y(0)ⁿ/n!*xⁿ xϵ<-R,R> (1)

PT y(x)=  y(0)ⁿ/n!*(x-x₀) xϵ<-R,R> (2)

1. Вычисление значений функций y(x) x=x₁. Раскладываем функцию в ряд Тейлора и Маклорена и вычисляем значение функции

2. Вычисление интегралов. fⁿ(x₀)/n!(x-x₀)ⁿ= fⁿ(x₀)/n! (x-x₀)ⁿdx=  fⁿ(x₀)/n! (x-x₀)ⁿdx=

 f(x₀)(x-x₀)ⁿ⁺¹/n!(n+1)  [a,b] <-R,R>

3. ДУ. a) Линейные ДУ. y’’+p(x)y’+g(x)y=0 Пусть p(x)=

q(x)= ; y(x)= (3) Подставим (3) в и находим коэффициенты С_n и находим из обращения в нуль коэффициентов при любой степени х в полученном выражении

б) Если p(x)= ; q(x)=  Пусть a₀,b₀,b₁ не равны, о оновр тогда решение уравнения (1) можно искать в виде обобщённого степенного ряда y(x)=x^s ; ρ(ρ-1)+a₀ρ+b₀=0 (6)

a₀= ,b₀=

a) Если ρ₁-ρ₂- не целое. y₁(x)=x^ρ1 ; y₂(x)=x^ρ2

y₀₀=c₁y₁(x)+c2xy2(x) (!!!)

б) Если ρ₁-ρ₂- целое

2.1 Ряд Фурье. Пространство функции L ₂  [- ]. Определение, св-ва.

Рассмотрим множество f(x): =  непрерывные на [- ]

Кусочные непрерывные [- ], имеющие кон число точек разрыва 1го рода

 

Свойства функции:

1) Если f(x) L₂, то С*f(x) L₂

Доказательство: =С²* <

2) Если f₁(x);f₂(x) L₂   то f₁(x)+f₂(x) L₂   

Д-во: ( f₁(x)+f₂(x))² 0

f₁² f₁f₂+f₂² => f₁²+f₂²> f₁f₂

= <  <2

Благодаря этим свойствам образуется линейное векторное пространство, которым можно показать, что L₂ не имеет конечного базиса. Базис содержит бесконечное множество векторов

Можно ввести скалярное произведение:

{f(x),g(x)} =

1) (g(x), f(x)) =

(f(x),g(x)) =(g(x),f(x))

2) {f₁(x)+f₂(x)_,g(x)} = =

( + )* = * + *

3) { f(x), f(x)} =   0

4) (|f(x)|) =

5) {|f(x)-g(x)|}=

2(Ряды Фурье). Показать ортогональность функций 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…,cosnx, sinnx,… на [- π, π ].

{1, sinx, cosx, sin 2x, cos 2x,..., sin nx, cos nx,...}

1. Поэтому

2.

3.

4.

 

Если n=m, то

5.

при n ≠ m, n, m = 1, 2, 3,... Если n = m, то

Значит,

6.

при n ≠ m, n, m = 1, 2, 3,... Если n = m, то

То есть

Таким образом, доказано, что система на отрезке [ - π, + π] ортогональная.

 

 

                 

Вопрос 3 фурье

 

5)Ряд Фурье для периодических функций с периодом T=2l

Пусть f(x) есть период. ф-я с T=2l,отличным от 2π. Разложим ее в ряд Фурье. Замена переменной: /

Тогда ф-я  будет переод-й ф-й от t c T=2π. Ее можно разложить на

,где ,

Возвратимся к старой переменной:

Имеем:

Ряд Фурье будет иметь вид: