Достаточные признаки сходимости

Признак Даламбера

Если в ряде (a_n )  =L

L<1-сходится

L>1 расходится

L=1 -??

Доказательство

a) L<1;  =L

L<q<1

=q-L>0

< < = q-L

<q

Начиная с

a_N+1<q*a_N

a_N+2<q*a_N+1<q²a_n

a₁+a₂+a₃+…a_N+a_N+1+a_N+2+… (4)

a_N + q*a_N+q²a_N+q³a_N+… (5)

начиная с номера  члены ряда (1)<(2)

а ряд (2)-геометрическая прогрессия со знаменателем q>1

= - кон.число по теореме сравнения в форме неравенства

 L>1;  =L члены с каждого номера члены ряда возрастают a_n+1>a_n, т.е. не выполняется НУС

а значит ряд расходится

в) L=1-???

Коши-Радикальный

Если в (a_n ), =L, то

L<1-ряд сходится

L>1-ряд расходится

L=1-??

Доказательство

=L

=> | <

L <1

=q-L

-L< =q-L

< q_n начиная с некоторого номера

_n <qⁿ

_N <q^N

_N+1 <q^N+1

 2 ряда

a₁+a₂+a₃+…a_N+a_N+1+a_N+2+… (6)

q^N+q^N+1+q^N+2+… (7)

начиная с N члены (6)<(7) ряд (7) геом прогрессия  q<1; =  - конечное число, тогда по признаку сравнения (6) сходится

Б) L>1 a_N+1>a_N; a_N>1 т.е не выполняется НУС

В) L=1-??

Признак Коши-Интегральный

Рассмотрим ряд (a_n )

a_(n) непрерывная функция на [n₀; ]

Если , - конечное число, то –сходится

Если =0, или , то  – расходится

=A_(n) =

Вопрос 20. Если для последовательности {Sn,n≥1} частичных сумм существует конечны предел S, то ряд называется сходящимся, а число S-суммой данного ряда. Ряд называется расходящимся, если lim Sn (при n→0) не существует или бесконечен.

НУС Для того что бы ΣAn сходился, необходимо, что бы lim An(при n→0)=0

Если ряд сходится то остаток ряда тоже сходиться. Отбрасывание первых членов ряда не влияют на сходимость. Если ряд сходиться то остаток стремиться к нулю.

Т Знакоположительный ряд всегда имеет сумму: А) Если сумма ряда конечна, то ряд сходиться. Б) Если сумма бесконечна, то ряд разходится.

Абсолютная и условная сходимость Ряд ΣA (от 1 до ∞) называется абсолютно сходящимся, если ряд Σ‖A‖ также сходится.
Если ряд ΣAn (от 1 до ∞) сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд ΣА (от 1 до ∞) называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Знакочередующиеся ряды. Доказать теорему Лейбница.

 = a₁-a₂+a₃-a₄+…-…+ +…

a_n≥0

Доказать теорему Лейбница

Если в  (a_n≥0) выполняется =0, то

1. Ряд сходится

2. S>0

3. S<a₁

Док-во:

S_2n= a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2n-1-a_2n+…

a) S_2n= (a₁-a₂)+(a₃-a₄)+…+(a_2n-1-a_2n)+…

    ≥0          ≥0              ≥0

S_2n≥0, ≥0

 

б) S_2n= a₁-(a₂-a₃)-(a₄-a₅)-…-(a_2n-2-a_2n-1)- a_2n…

S_2n≤ a_1, ≤ a₁

в) S_2n+1= S_2n+ a_2n+1                                                  0 НУС

= +

= чтд.

Функциональные ряды.

О) ФР: (1) x Î<a,b> (1)

O) Если в (1) x=x₀, то (2) – числовой ряд

О) Если  – (2) сходится, то говорят, что ФР (1) сходится в (.) x₀

О) Если  – (2) " x₀ Î <a,b>, то говорят, что ФР (1) сходится на <a,b>

О) Если  - (2) расходится, то ФР (1) расходится в (.) x₀

О)  - (2) сходится в (.) x₀, если

                                                    Частичная сумма ­         ­ сумма числового ряда

т.е. " e>0 $ N(e,x₀): "(n>N) Þ ½S_n(x₀)-S(x₀)½<e

!!! N(e,x₀) зависит и от e и от x₀

Равномерная сходимость.

О) ФР (1) сходится равномерно на <a,b>, если " e>0 $ N(e): "(n>N) Þ ½S_n(x)-S(x)½<e " “x” Î <a,b> одновременно, где S_n(x)=  – частичная сумма, S(x) – сумма ряда

S(x)=S_n(x)+R_n(x)

R_n(x)=U_n+1(x)+U_n+2(x)+… - остаток ряда