Математика часть 1. Линейная алгебра.

Лекция 1.

Тема 1. Векторная алгебра.

План лекции:

1. Системы координат на плоскости и в пространстве.

2. Векторы и их свойства.

3. Скалярное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл.

4. Векторное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл.

5.  Смешанное произведение трех векторов, его свойства и геометрический смысл.

П.1. Системы координат на плоскости и в пространстве.

П.1.1. Системы координат на плоскости

Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.1)
О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox).

Декартовы косоугольные (афинные) координаты (рис. 4.2)

 

О - начало координат, - оси координат, , - координаты точки M ( - проекция точки M на ось параллельно оси , аналогично ), - базисные векторы.

П.1.2.Системы координат в пространстве

Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.4)
О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, Оz - ось аппликат, - базисные векторы. Oxy, Oxz, Oyz - координатные плоскости, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно плоскости Оyz), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oy параллельно плоскости Oxz), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oz параллельно плоскости Oxy).

 

П.2. Векторы.

Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В называется геометрическим вектором или просто вектором. Обозначается  или строчными буквами латинского алфавита со стрелкой сверху: , …

Длина отрезка АВ называется длиной или модулем вектора и обозначается: .

Если точки А и В совпадают, то вектор называется нулевым. Нулевой вектор обозначается либо , либо 0. Нулевой вектор не имеет направления и длина его равна нулю.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны одной прямой (лежат на параллельных прямых).

Два вектора называется равными, если они коллинеарны, имеют одинаковое направление и длину.

Произведением  вектора  на действительное число  называется новый вектор , который обладает свойствами:

1^о ;

2° направление вектора  совпадает с направлением вектора , если  
(рис. 2.1, а) и противоположно направлению вектора , если (рис. 2.1, б).

Если точка А является началом вектора , то говорят что вектор  отложен от точки А. Отложим от точки А вектор , равный . Затем от точки В отложим вектор , равный . Вектор , равный , называется суммой векторов  и  и обозначается:

Для любых трех точек А, В, С (рис. 2.2) справедливо равенство (правило треугольника): .

Умножение вектора на число и сложение векторов называются линейными операциями над векторами.

Два вектора называются противоположными, если их длины равны, и они противоположно направлены. Из определения произведения вектора на число следует, что .

Разностью векторов  называется вектор , сумма которого с вектором  равна вектору . Обозначается:  Разность векторов можно определить также равенством:  Множество всех векторов на плоскости (в пространстве) образуют линейное пространство.

2.2. Проекция вектора на ось. Свойства проекций.

Единичный вектор , направление которого совпадает с направлением оси 0 u, называется направляющим вектором этой оси или ортом оси. Если  – единичный вектор, сонаправленный с вектором , то , если  направлен противоположно вектору , то .