Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

Опр. 13. Минором  элемента  матрицы А называется определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-гo столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент).

Например:

если  и т. д.

Опр. 14. (Алгебраическим дополнением  элемента  матрицы А называется число, равное

Утверждение 2.1 (О разложении определителя по строке)

Определитель равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е.

           (1.6)

Свойства определителей

1°. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы , т. е.

det A = det .

2°. Если хотя бы одна строка матрицы А состоит из нулей, то определитель этой матрицы равен нулю.

3°. °. Определитель матрицы, содержащей две одинаковые строки, равен нулю

4. При перестановке (транспозиции) любых двух строк в матрице, у определителя этой матрицы изменится знак.

5°. Если все элементы некоторой строки матрицы умножить на действительное число , то определитель этой матрицы умножится на .

6°. Пусть матрицы А, В, С отличаются друг от друга только k-й строкой, причем элементы k-й строки матрицы С равны сумме соответствующих элементов k-х строк матриц А и В т.е.

тогда

7°. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на число .(8°. (Теорема аннулирования). Сумма произведений элементов, какой либо строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю, т.е.      )                    (2.7)

Опр. 15. Матрица называется невырожденной, если , и вырожденной в противном случае.

Определитель выгоднее раскрывать по ТОЙ строке (столбцу), где:

1) нулей побольше;
2) числа поменьше.

 

1.Вычислить определитель 2на 2.

2.3 на 3

1.Вычислить определитель

2.3 Обратная матрица.   Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле: , где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д. Пример 1: Найти обратную матрицу для матрицы Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам. 1) Сначала находим определитель матрицы. Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ. В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке. 2) Находим матрицу миноров . Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае . Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек. Возвращаемся к нашей матрице – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . 3) Находим матрицу алгебраических дополнений . Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел: – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . 4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений . – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . 5) Ответ. Вспоминаем нашу формулу Таким образом, обратная матрица: Как проверить решение? Необходимо выполнить матричное умножение либо Получена так называемая единичная матрица (с единицами по главной диагонали и нулями в остальных местах). Таким образом, обратная матрица найдена правильно. Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно.

2.4. Ранг матрицы Рассмотрим прямоугольную матрицу . Выберем в матрице А произвольно k строк с номерами i1, i2, …, ik и k столбцов с номерами j1, j2,..., jk, . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу Аk порядка k. Как мы уже знаем, определитель матрицы Аk называется минором k-гo порядка (минором порядка k) и обозначается  или, когда не важно, какие именно строки и столбцы выбраны, обозначается Mk, т.е. по определению Mk = det Аk. Например, если и выбраны строки c номерами i1 = 1, i2 = 3 и столбцы с номерами j1 = 2, j2 = 4, то Число миноров второго порядка для этой матрицы равно 18.   Опр.16.Наивысший порядок миноров, не равных нулю, называется рангом матрицы и обозначается символами: rаng А или rA. Из этого определения легко получить следующее правило для нахождения ранга матрицы: если найден минор порядка r не равный нулю и любой минор порядка r + 1 равен нулю, то ранг матрицы А равен r. Пример 1.2. Найти ранг матрицы: . Решение. Здесь , следовательно rаng А = 2. Вычисление ранга матрицы по определению приводит к очень громоздким и длительным вычислениям, поэтому чаще всего он вычисляется с помощью элементарных преобразований матрицы.   Элементарные преобразования матрицы: 1) перестановка (транспозиция) строк (столбцов) матрицы; 2) умножение всех элементов отроки (столбца) матрицы на действительное число ; 3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на действительное число. Утверждение 2.2. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.