Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?

Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является направляющим вектором данной прямой.

Пример 3.

Примеры нахождения направляющих векторов прямых:

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить:

Так, уравнение задаёт прямую, которая параллельна оси и координаты полученного направляющего вектора удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор в качестве направляющего вектора. Логично.

Пример 4

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору .

Решение: Формула не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Выход есть! Используя свойства пропорции, перепишем формулу в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

Ответ:

 

Далее, перейдем к новому виду уравнения прямой – по двум точкам.

Уравнение прямой по двум точкам.

Если известны две точки , то уравнение прямой, проходящей через данные точки, можно составить по формуле:

(координаты направляющего вектора:

Примечание: точки можно «поменять ролями» и использовать формулу

Пример 4. Составить уравнение прямой по двум точкам .

Решение: Используем формулу:

Считаем знаменатели:

И методом пропорции решаем:

Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае нужно умножить обе части на 6:

Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума:

Ответ:

 

Далее переходим к виду прямой 5 – по точке и вектору нормали.

Нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы).

Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой.

Если координаты направляющего вектора приходиться аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять».

Рассмотрим примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:

Пример 5.

 

5.Уравнение прямой по точке и вектору нормали. Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и вектор нормали этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой:

Пример 6.

Составить уравнение прямой по точке и вектору нормали . Найти направляющий вектор прямой.

Решение: Используем формулу:

Общее уравнение прямой получено:

Ответ:

На чертеже ситуация выглядит следующим образом:

Далее рассмотрим уравнение прямой в отрезках:

1. Уравнение прямой в отрезках имеет вид , где – ненулевые константы.

Некоторые типы уравнений нельзя представить в таком виде, например, прямую пропорциональность (так как свободный член равен нулю и единицу в правой части никак не получить).

Пример 7

Дана прямая . Составить уравнение прямой в отрезках и определить точки пересечения графика с координатными осями.

Решение: Приведём уравнение к виду . Сначала перенесём свободный член в правую часть:

Чтобы получить справа единицу, разделим каждый член уравнения на –11:

Таким образом, точки пересечения прямой с координатными осями:

Ответ:

Легко усмотреть, что данная прямая однозначно определяется красным и зелёным отрезками, отсюда и название – «уравнение прямой в отрезках».