Связь координат вектора с координатами его образа

 

Пусть в линейном пространстве  задан базис (4.8) и пусть  – матрица линейного оператора  в этом базисе. Выберем произвольный вектор  и положим . Обозначим  и  – координатные столбцы векторов  и  соответственно в базисе (4.8). Тогда

 [(4.3)]  [(4.11)] = ,

и

                                          .                                        (4.13)

Равенство (4.13) есть не что иное, как разложение вектора  по базису (4.8), а коэффициенты разложения –координаты вектора  в этом базисе. В силу единственности координат вектора в данном базисе получаем

                                         .                                           (4.14)

Записав (4.14) по правилу цепочки (), получаем

                                         .                                              (4.15)

Формула (4.14) и задает связь координат вектора и координат его образа при линейном операторе, а (4.15) –ее матричная запись.

 

Изменение матрицы линейного оператора

При изменении базиса

 

Теорема 4.2. Пусть в линейном пространстве  заданы два базиса:

                                                                                    (4.16)

и

                                           ,                                 (4.17)

и пусть A =  и  – матрицы линейного оператора  в базисах (4.16) и (4.17) соответственно. Тогда

                                      ,                                           (4.18)

где Т – матрица перехода от (4.16) к (4.17).

►Чтобы найти матрицу , следует образы векторов базиса (4.17) разложить опять же по этому базису. Имеем

= [определение матрицы перехода] =  = [(4.3)] =  =

= [(4.11)] =  = [свойство 6º § 9 гл. 3] = .

Итак,

                                    =  .                                     (4.19)

Равенство (4.19) задает разложение вектора  по базису (4.17). С другой стороны, по определению матрицы линейного оператора,

                                        .                                       (4.20)

В силу единственности координат вектора в данном базисе из (4.19) и (4.20) получаем равенство

                                       ,                                         (4.21)

которое и дает нам связь элементов матриц линейного оператора в различных базисах. Запишем (4.21) по правилу цепочки:

                                       .                                         (4.22)

Так как  (см. замечание в § 9 гл. 3), то из (4.22) получаем (4.18).◄

Определение. Квадратные матрицы  и  называются подобными, если существует невырожденная матрица Т такая, что .

Таким образом, мы видим, что матрицы линейного оператора в различных базисах подобны.

Лемма 4.1. 1. Подобные матрицы имеют одинаковые определители.

2. Если невырожденные квадратные матрицы подобны, то обратные к ним тоже подобны, причем подобие осуществляется при помощи одной и той же матрицы,

►1. .

2. Пусть матрицы  и  подобны и пусть подобие осуществляется при помощи матрицы . Покажем, что матрица , подобная матрице , является обратной к . Действительно, .◄

Определение. Определителем линейного оператора  называется определитель его матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе пространства .

Геометрический смысл определителя

Линейного оператора

 

Пусть  – линейный оператор,  – его матрица в некотором ортонормированном базисе , и пусть  – некомпланарные векторы, а  – их образы. Обозначим  и  координатные столбцы в выбранном базисе векторов  и  соответственно, ,  – объем параллелепипеда, построенного на векторах , а  – объем параллелепипеда, построенного на векторах . Тогда, учитывая (4.15), получаем

 [(4.15) § 3]  [§ 5 гл. 1] =

    [§ 6 гл. 1] .   (4.23)

Рассмотрим теперь пространство . Выберем в нем точку  и  линейно независимых векторов , . Параллелепипедом в  ( -мерным параллелепипедом) будем называть множество точек в

             .                 (4.24)

Обозначим  координатный столбец вектора  в каноническом базисе. По аналогии с трехмерным пространством, объемом -мерного параллелепипеда (4.24) будем называть число

.

Можно доказать, что при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному это число не меняется, т.е. определение объема параллелепипеда является корректным.

Так же, как и для трехмерного пространства, для пространства  доказывается равенство (4.23).

Вывод: из формулы (4.23) на основании леммы 4.1 вытекает, что коэффициент изменения объема параллелепипеда при линейном операторе равен модулю определителя этого оператора.