Приведение квадратной матрицы к диагональному виду

Лемма 4.4. Для того чтобы матрица А линейного оператора  в некотором базисе пространства  имела диагональный вид, необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов оператора f, причем диагональными элементами матрицы А являются собственные значения этого оператора.

►Пусть

                                              –                                (4.55)

базис пространства , A – матрица оператора f в этом базисе. Тогда

{ А –диагональная}

 {(4.55) состоит из собственных векторов оператора  а  – его собственные значения}.◄

Определение. Говорят, что квадратная матрица А с элементами из поля P приводится к диагональному виду над P, если существует невырожденная квадратная матрица Т с элементами из P такая, что матрица  – диагональная.

Теорема 4.13. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля P,  – линейное пространство над Р,  – тот линейный оператор, матрица которого в некотором базисе (4.55) пространства  совпадает с А. Тогда для приводимости матрицы А к диагональному виду над полем Р необходимо и достаточно, чтобы в  существовал базис, состоящий из собственных векторов оператора f.

►Выберем в  еще один базис

                                                                                   (4.56)

и обозначим Т матрицу перехода от исходного базиса (4.55) к базису (4.56). Матрица оператора f в этом базисе имеет вид . Тогда

{в  существует базис (4.56) из собственных векторов оператора f }

{матрица  оператора  в базисе (4.56) диагональная} { А приводится к диагональному виду}.◄

Следствие. Если все характеристические числа матрицы А различны и принадлежат полю Р, то А приводится к диагональному виду над Р.

Замечание. Если матрица А приводится к диагональному виду – матрице , то диагональными элементами последней являются собственные значения матрицы А, а матрица Т, приводящая А к диагональному виду, есть не что иное, как матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов.

Лемма 4.5.. Пусть  – собственное значение кратности  линейного оператора . Тогда .

►Предположим, что . Выберем в  какой-либо базис  и дополним его до базиса

                                                              (4.57)

пространства . В базисе (4.57) матрица А оператора f выглядит так

,

а ее характеристический многочлен (значит, и характеристический многочлен оператора f) имеет вид: , где  –некоторый многочлен степени . Очевидно,  – корень характеристического многочлена. Если  – кратность , то , что противоречит условию.◄

Теорема 4.14. Для того чтобы квадратная матрица А n- го порядка приводилась к диагональному виду над полем Р, необходимо и достаточно, чтобы все ее характеристические числа  принадлежали этому полю и для каждого из них выполнялось условие

                             ,                                     (4.58)

где  – кратность корня  характеристического уравнения матрицы А.

►Пусть  – линейный оператор, построенный в теореме 4.13. На основании свойства 4º § 5 количество всех линейно независимых собственных векторов линейного оператора  совпадает с суммой размерностей подпространств  по всем собственным значениям . Если это количество линейно независимых собственных векторов обозначить через m, то

.

Тогда

{ А приводится к диагональному виду} {в  существует базис из собственных векторов оператора f }  {любое характеристическое число  является собственным значением и }  :  и  :  и .◄