По теореме 3.3 систему (4.30) можно дополнить до базиса

                                                                 (4.31)

пространства . Обозначим . Очевидно,

                                      –                                              (4.32)

базис пространства . Докажем, что . Действительно,

где , а . Таким образом, . Покажем, что сумма прямая. Пусть . Тогда  можно разложить как по базису (4.30), так и по базису (4.32):  и . Получаем

,

откуда в силу линейной независимости (4.31) вытекает, что . Поэтому , а значит, сумма действительно прямая.

Покажем теперь, что . Построим отображение

.

Очевидно,  – линейный оператор. Кроме того,  такой, что . Так как , то  где , . Тогда. . Таким образом,  такой, что . Предположим, что таких векторов два, т. е. что , но . Имеем

.

Отсюда вытекает, что . Но , следовательно, , и поэтому . Итак, мы показали, что  – взаимно однозначное отображение, следовательно, и изоморфизм. Так как изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности, то , откуда и вытекает доказываемое утверждение.

Рассмотрим теперь тривиальные случаи. Пусть , значит, . Тогда , . Если же , то . В обоих случаях равенство (4.29) выполняется. ◄

Следствие. Если  – линейный оператор, то  (т. е. ). Если же оператор  – невырожденный, то , следовательно,  (т. е. ).

Теорема о ранге произведения линейных операторов

Пусть  - линейный оператор,

                                            –                                (4.33)

базис пространства , а

                                      –                                  (4.34)

базис пространства . Аналогично тому, как определялась матрица линейного оператора пространства  в себя в заданном базисе, определяется и матрица оператора  в паре базисов (4.33) и (4.34). Найдем образы векторов базиса (4.33):

                                            ,                                 (4.35)

каждый из них разложим по базису (4.34), обозначим  координатный столбец вектора  в базисе (4.34), , и составим систему

                                                                                       (4.36)

из этих координатных столбцов.

Матрицей линейного оператора  в паре базисов (4.33) и (4.34) называется матрица , составленная из координатных столбцов образов векторов базиса (4.33) в базисе (4.34). Очевидно, эта матрица имеет размеры .

Нетрудно показать, что при умножении линейных операторов их матрицы в соответствующих парах базисов перемножаются, как это было доказано для случая линейных операторов пространства  в себя.

Теорема 4.11. Пусть  – линейный оператор, A его матрица в паре базисов (4.33) и (4.34). Тогда .

►В § 3 третьей главы мы показали, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы их координатные столбцы в некотором базисе. Поэтому максимальное число линейно независимых элементов в системах (4.35) и (4.36) будет одинаковым. Обозначим это число .

Так каккаждый из векторов  можно разложить по базису (4.33), то . Следовательно, . Тогда

[теорема 3.5] =  =

= [теорема 3.6] = .◄

Следствие. Если  – изоморфизм, то матрица A –невырождена.

Теорема 4.12. Пусть  и  – линейные операторы. Тогда , причем если один из операторов – изоморфизм, то ранг произведения равен рангу второго оператора.

► Обозначим . Нетрудно убедиться, что  – подпространство пространства , и поэтому . Тогда

= ;

= .

Кроме того, если  – изоморфизм, то

.

Если же  – изоморфизм, то

.◄

Следствие. Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей. Причем, если один из сомножителей – матрица невырожденная, то ранг произведения равен рангу второго сомножителя.

Линейные формы

 

Определение.Линейной формой на линейном пространстве  над полем  называется линейный оператор .

Мы уже знаем, что множество  всех линейных форм на линейном пространстве  также является линейным пространством над тем же полем, что и , относительно операций сложения линейных форм и умножения линейной формы на число. Пространство  будем называть сопряженным пространству , и обозначать , его элементы назовем ковекторами и тоже для удобства отметим стрелками, но снизу (например, ).

Рассмотрим -мерное линейное пространство  и выберем в нем какой-либо базис:

                                             .                                (4.37)

Пусть  – произвольный вектор пространства ,  – линейная форма. Тогда

                                      .                       (4.38)

Мы видим, что значение линейной формы для вектора  зависит от его координат и некоторых чисел , вовсе с вектором  не связанных. Обозначим  и назовем эти числа компонентами формы  в базисе (4.37). Теперь (4.38) можно переписать и так: .

Выберем в  ещё один базис

                                                                                 (4.39)

и обозначим  компоненты линейной формы  в базисе (4.39).Тогда

 =  = [определение матрицы перехода] =  =

= [линейность ] = .

Мы получили закон изменения компонент линейной формы при изменении базиса.

В пространстве линейных форм  выберем  линейных форм

                                                                               (4.40)

по следующему принципу:

                                      ,                               

т. е. форма  принимает значение, равное 0, для всех базисных векторов, за исключением одного, , для которого она принимает значение, равное 1. Существование таких форм вытекает из теоремы 4.1. Докажем линейную независимость (4.40). Как обычно, составим линейную комбинацию и приравняем ее нейтральному элементу.

{(4.40) линейно независима}.

Пусть теперь  – произвольная линейная форма,  – ее компоненты в базисе (4.40). Обозначим . Тогда

Таким образом,  = , следовательно, система (4.40) в пространстве  является системой образующих, а значит, и базисом. Итак, пространство, сопряженное к конечномерному линейному пространству, имеет ту же размерность. Базисы (4.37) и (4.40) пространств  и называются сопряженными или взаимными. Следовательно, компоненты линейной формы  в базисе (4.37) пространства  – это её координаты во взаимном базисе пространства .