Ловушка 2 – множественность значений нормы доходности

Рассмотренные нами проекты имели единственное значение внутренней нормы рентабельности, однако, в случае, когда происходит более чем одно изменение в знаке потока денежных средств, такая ситуация скорее исключение, чем правило. Чаще всего в этом случае уравнение (*) имеет более чем одно решение. То есть внутренняя норма рентабельности имеет более чем одно значение.

Рассмотрим, например, проект Г табл. 3.8. Затраты по нему составляют 4000 руб., и он приносит вам в первый год доход 25000 руб., а во второй вы должны затратить на него 25000 руб.

Следует отметить, что в экономической реальности такие проекты не редкость. Например, если вы ведете открытую добычу угля, то, очевидно, вам придется инвестировать значительную сумму денег, чтобы восстановить землю по окончании разработок. Аналогичная ситуация только в значительно более жестком варианте ожидает все атомные электростанции.

Что же касается оценки качества развития предприятия в целом, то знакопеременность денежных потоков явление совершенно обычное.

В качестве иллюстрации сказанного, рассмотрим проект с крупными финишными затратами.

Таблица 3.8 Инвестиционный проект с крупными финишными затратами

 

Проект	Потоки денежных средств, руб.			IRR, %	NPV при r = 10%
	C0	C1	С2
Г	–4000	+25000	– 25000	25 и 400	– 1934

 

Для проекта Г существует две ставки дисконта, при которых чистая приведенная стоимость обращается в 0:

 

NVP = –4000 + 25000/1,25 – 25000/(1,25)² = 0 и  NVP = –4000 + 25000/5 – 25000/5² = 0.

То есть, внутренняя норма доходности составляет 25% и 400%. Рисунок 3.2 иллюстрирует эту ситуацию. С ростом ставки дисконта чистая

 

приведенная стоимость сначала растет, а затем снижается. Причина этого заключается в том, что знак потоков денежных средств меняется дважды.

При необдуманном применении критерия внутренней нормы рентабельности, здесь легко можно ошибиться, поскольку оба значения внутренней нормы рентабельности больше цены капитала.

В общем случае, у проектов со знакопеременными потоками денежных средств может быть столько различных значений внутренней нормы рентабельности, сколько раз изменяется знак потока денежных средств.

 

Рис. 3.2. Изменение чистой приведенной стоимости проекта Г Помимо рассмотренной ситуации, существуют случаи, когда проект

вообще не имеет внутренней нормы рентабельности. Так, например, у проекта Д (табл. 3.9) чистая приведенная стоимость положительна при любых ставках дисконта.

 

Таблица 3.9 Проект, не имеющий внутренней нормы рентабельности

 

	Потоки денежных средств, руб.			IRR, %	NPV при r = 10%
Проект	C0	C1	С2
Д	+1000	–3000	+2500	нет	+339

 

Говоря о множественности значений внутренней нормы рентабельности, которая является следствием нелинейности уравнения для определения величины IRR, следует отметить еще один недостаток этого критерия. – Его трудно рассчитывать, поскольку приходится решать

 

 

уравнение более высокого порядка, чем единица. Конечно, этот недостаток весьма относительный, при наличии компьютеров решение нелинейных уравнений не вызывает сложностей. Тем не менее, для «рукопашных» прикидок, следует привести простую формулу расчета IRR, полученную через линеаризацию исходного уравнения в области решений.

Для получения желаемой формулы, рассмотрим рисунок 3.3.

Рис. 3.3. Приближенный расчет IRR

 

На рисунке приведен график зависимости чистой приведенной стоимости NPV от цены капитала r. Если на участке N1–N2 кривую зависимости заменить соответствующей прямой, то можно без труда определить значение IRR^*, которое и будет являться приблизительным значением внутренней нормы рентабельности проекта IRR. Формула для расчета IRR^* будет иметь вид:⁶

IRR *   =  R2 ´ NPV1 - R1 ´ NPV2

NPV1 - NPV2

(*).

Глядя на рисунок 3.3, можно решить, что формула (*) не точна. Вместо значение IRR около 9%, мы получаем значение около 13%. Однако подумав, можно увидеть, что при сужении интервала NPV1–NPV2 (R1–R2),

 

6 Для получения этого соотношения следует, либо вспомнить уравнение прямой, проходящей через две точки, либо определить координаты точки IRR^* через подобие треугольников N1–R1–IRR^* и N2–R2– IRR^*.

 

наши 13% приближаются к 9%. Таким образом, можно сделать следующий вывод: