У одного есть два и он отключен .

σ

1

следующим образом. Новый σ

Γ

Z

1

является лишь ограничением, в то время как σ

Γ

Z

0

Определяется

объявив σ

Γ

Z

0

(h), с h ∈ H

Z

, чтобы быть первым членом в последовательности (σ

k

0

(h))

k>0

То есть в H

Z

.

Собственное подмножество Z ⊂ E(Γ) ребер ленточного графа также индуцирует
структуру ленточного графа на графике, определяемую дополнением Z в E(Γ). Мы
обозначим этот график через Γ / Γ

Z

. Новый граф имеет множество ребер E(Γ) − Z с индуцированным

Набор полукруглых H

Γ / Γ

Z

. Так как σ

1

и σ

∞

Полностью определите ленточный график

Структура, достаточно определить их в H

Γ / Γ

Z

Новая инволюция - это всего лишь

ограничение σ

Γ / Γ

Z

1

= σ

1

|

H

Γ

/ Γ Z

. Учитывая h ∈ H

Γ / Γ

Z

мы определяем σ

Γ / Γ

Z

∞

(h) быть первым

член последовательности (σ

k

∞

(h))

k>0

В Ч

Γ / Γ

Z

.

Несколько замечаний о природе Γ / Γ

Z

все в порядке. Например, если Z является

только одно ребро с двумя разными вершинами (и, следовательно, не петля), то Γ / Γ

Z

топологически является результатом свертывания этого ребра в точку, как показано на рисунке 9, где две
вершины объединяются в одну, создавая новый циклический порядок вокруг этой вершины.
То же самое верно, если заменить одно ребро любым набором ребер Z, таким что Γ

Z

это просто связано. Это может быть показано индукцией по числу элементов
Z.

Однако, в целом, Γ / Γ

Z

не является топологическим фактором Γ над Z. Рисунок 12

показан пример этого последнего случая.

Оказывается, это определение позволяет нам отслеживать создание узлов на уровне
графа. В этом последнем примере сворачивание цикла создает новую вершину, и
циклический порядок вокруг единственной вершины в Γ разбивается на две.

Теперь мы опишем, как свернуть ребра в ленточном графе с P- меткой без

изменение типа гомеоморфизма Surf(Γ) относительно P.

Подмножество Z ⊂ E(Γ) P- меченого ленточного графа Γ называется пренебрежимо малым, если каждое

связанная составляющая Γ

Z

это либо дерево с не более чем одной помеченной точкой, либо
гомотопический круг без помеченных точек, содержащий граничный подграф.

Определение 2.3.

Если Γ - ленточный график с P- меткой, а Z ⊂ E(Γ) - пренебрежимо малое

подмножество определяет краевой коллапс Γ относительно Z как Γ /Z = Γ / Γ

Z

С индуцированным

П - маркировка.

ГОМОЛОГИЯ ПОЛУСТАБИЛЬНЫХ ГРАФОВ

9

Замечание 2.4. Сворачивание дерева, на котором не более одной помеченной точки, не изменяет
приемистости меток. Свертывание подграфа, гомотопичного окружности без
помеченных точек и содержащего граничный подграф, называется полным свертыванием, и в
этом случае метка точки, соответствующая граничному подграфу, переключается
в метку индуцированной вершины после этого свертывания. Приемистость этой маркировки
все еще сохраняется.

Лемма 2.5.

Если Z пренебрежимо мал, то Surf(Γ) ∼

= Прибой (Γ /Z) относительно Р.

Доказательство. Можно показать последовательность гомеоморфизмов, начинающихся с Surf(Γ)
и заканчивающихся Surf(Γ /Z). Если связная составляющая Γ

Z

является ли дерево не более
чем с одной помеченной точкой, пусть e- ребро в указанном дереве. Поскольку e сжимается, результатом на
связанной поверхности является сжатие треугольника K

e

к интервалу (одна вершина переходит
в одну вершину интервала, а ребро, противоположное этой вершине, сжимается до
другой вершины интервала). Это можно сделать со всеми краями дерева без
изменения приемистости меток. То же самое можно сделать на гомотопической окружности
без помеченных точек, содержащей граничный подграф. Разница в том, что
на последнем шаге у нас есть цикл, сжимающийся до вершины в ее основании, которая
теперь будет иметь метку. Этот коллапс также учитывает вредность этикеток, поскольку
на гомотопическом круге не было помеченной точки. Такой процесс не изменяет
тип гомеоморфизма поверхности.

Также можно свернуть более общие графики, допустив только слабые
вырождения. Если свернуты более произвольные подмножества ребер, тип гомеоморфизма
не сохраняется, но можно показать, что полученные таким образом особенности напоминают
хорошо управляемые двухточечные особенности устойчивых поверхностей. Мы начинаем со
следующего понятия.

Правильный набор ребер Z является полустабильным, если ни одна составляющая Γ

Z

Является ли набор ребер

пренебрежимо малого подмножества и каждой одновалентной вершины Γ

Z

Помечен.

Замечание 2.6. Если Z является полустабильным, то каждая сжимаемая составляющая Γ

Z

содержит
по крайней мере две помеченные точки (в противном случае это было бы незначительно). Компонент, представляющий
собой гомотопический круг без помеченных вершин, обязательно является топологическим кругом, поскольку
должны быть помечены одновалентные вершины. Это также не граничный подграф Γ, иначе
он был бы незначительным.

Лемма 2.7.

Учитывая ленточный график Γ, каждое собственное подмножество Z ⊂ E(Γ) содержит