В ленточном графике с точностью до изоморфизма . IT

Нетрудно проверить, что эта последовательность действительно будет полустабильной.

Эти соответствия являются обратными друг другу на классах изоморфизмов по
конструкции. Замечание 2.17 подразумевает, что сохраняются незначимые подмножества, а
также подразумевает коммутативность с краевым коллапсом. Для разборных полустабильных
подмножеств мы также используем естественное ограничение и конструкцию склеивания для отслеживания

16

Джей Зи

U

НИГА

изображение этих множеств под биекцией. Согласно определениям, лемме 2.14 и
лемме 2.18, разборные полустабильные подмножества сохраняются биекцией.

Замечание 2.21. На самом деле, можно определить категорию полустабильных ленточных графиков
и еще один из ленточных графиков с допустимыми последовательностями. После определения
правильного понятия морфизма предыдущая теорема может быть расширена до эквивалентности
соответствующих категорий.

Комплекс Полустабильных Ленточных графов

При рассмотрении единичных метрик на P- помеченных полустабильных ленточных графах с
украшениями по касательным направлениям, приводящим к поверхностям рода g, получается
M

гребень
g,n

Который гомеоморфен M

декабрь
g,n

([Zn15]). Мы определяем комплекс на основе

Естественное разложение орбицеллы M

гребень
g,n

.

3.1. Оценка и ориентация. Пусть Γ представляет собой помеченный P полустабильный ленточный
граф с украшениями по касательным направлениям (отныне просто полустабильный
ленточный граф). Пусть m = ord(Γ), как в лемме 2.9, часть 2, и обозначим через
Γ

i

подграф, соответствующий порядку i. Мы будем ссылаться на Γ

i

как часть
заказа i, которая может содержать несколько соединенных компонентов. Определите степень
полустабильного ленточного графика следующим образом

град Γ =

m

k=0

#E(Γ

k

) − 1.

Напомним, что если V-n- мерное векторное пространство, то det(V) =

n

V. Кроме того, если
A- множество, а k- поле, векторное пространство kA определяется как |A| - мерное векторное
пространство, сгенерированное A.

Ориентация полустабильного ленточного графика представляет собой единичный вектор в

det(RE(Γ) ⊕ R

m

)

это мы обозначаем словом “ или ". Если {e

i

} = E(Γ) и {o

i

} является каноническим базисом R

m

Так

Что о

i

представляет часть порядка i − 1 Γ, ориентация может быть представлена в виде

или = [e

1

, e

2

, e

3

,..., o

1

, o

2

,..., o

m

].

Из определения следует, что нечетная перестановка изменяет знак ориентации, в то время как

Четной перестановки нет.

Позволь

V

G,n

k

= Пролет

R

{(Γ, или)},

где Γ - полустабильный ленточный граф степени k, дающий начало поверхности рода
g с n помеченными точками. Рассмотрим подпространство

W

G,n

k

= Пролет

R

{(Γ, или) + (Γ, − или)},

где Γ, как и раньше. Теперь определите

G

г, н
к

= V

G,n

k

/W

G,n

k

.

В этом градуированном векторном пространстве выполняется соотношение (Γ, − или) = − (Γ, или) (
понятно, что это относится к эквивалентным классам в факторе).

ПОЛУСТАБИЛЬНАЯ ГОМОЛОГИЯ ГРАФОВ

17

Дифференциал. Оператор d

e

: G

г, н
к

→ G

г, н
к− 1

Определяется

d

e

(Γ, или) =

e ∈ E(Γ)

(Γ /{e}, или

e

),

где сумма берется по всем ребрам, за исключением тех, у которых оба конца помечены
точками (что в случае цикла относится к общей вершине). Ориентация или

e

индуцируется выбором представителя формы или = [e,...] и предоставлением или

e

= [...],
то есть удаление фактора, соответствующего краю “ e ” в ориентации, после
выбора представителя с таким фактором спереди. Очевидно, что этот оператор не
изменяет топологический тип графа и, следовательно, определяет отображение G

G,n

∗

→ G

G,n

∗

.
Остается показать, что этот оператор имеет степень -1: это следует из того факта, что
сжатие ребра уменьшает количество ребер на единицу в некотором фрагменте Γ

i

Без

Изменяя остальных.

Определите оператор d

s

: G

г, н
к

→ G

g,n
к− 1

Автор:

d

s

(Γ, или) =

Z ⊂Γ

(Γ /Z, или

Z

),

где сумма берется по всем полустабильным подграфам, которые полностью содержатся
в одном фрагменте фиксированного порядка. Наведенная ориентация или

Z

Определяется следующим образом.

Пусть [e

1

, e

2

, e

3

,..., o

1

, o

2

,..., o

m

] быть представителем или. Если Z ⊂ Γ

i

, то для или

Z

мы выбираем представителя [ о

′

i+1

, e

1

, e

2

, e

3

,..., o

′

1

, o

′

2

,..., o

′

м +1

] где о

'
к

= o

k

Для

1 ≤ k ≤ i и o

'
к

= o

к− 1

для i + 2 ≤ k ≤ m + 1 здесь o

′

i+1

соответствует
вновь созданному фрагменту заказа i + 1, и он прикреплен спереди. Как было доказано в
лемме 2.14, свертывание полустабильных подмножеств не изменяет топологический тип;
следовательно, это отображение из G

G,n

∗

→ G

G,n

∗

Чтобы показать, что оператор имеет степень

-1 рассмотрим Γ /Z. С

E((Γ /Z))

k

) =













E(Γ

k

)

1 ≤ k ≤ i − 1

E(Γ

i

) − E(Z) k = i

E(Z)

k = i + 1

E(Γ

к − 1

)

i + 2 ≤ k ≤ m + 1,

Мы получаем

град (Γ /Z) =

м +1

k=0

#E((Γ /Z))

k

) − 1

=

i − 1

k=0

#E(Γ

k

) − 1

+ (#E(Γ

i

) − #E(Z) − 1)+

+ (#E(Z) − 1) +

m

k=i+1

#E(Γ

k

) − 1

=

m

k=0

#E(Γ

k

) − 1

− 1 = град (Γ) − 1.

Пример 3.1.

Рассмотрим график Γ ∈ G

0,5
8