Основные теоремы о пределах функции

Число А называют пределом функции в точке x ₀ (или при  ), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для всех х из δ –окрестности точки x ₀ справедливо неравенство:

Основные свойства пределов

Теорема 9. Если каждое слагаемое суммы двух функций имеет предел при x ® x 0, то предел этой суммы $ при x ® x 0 и равен сумме пределов слагаемых:

 

Теорема 10. Если каждый из сомножителей произведения двух функций имеет предел при x ® x 0, то предел произведения при x ® x 0 $ и равен произведению пределов сомножителей:

Теорема 11. Предел частного равен частному пределов:

 

 

Следствие 1. Функция может иметь только один предел при

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

 

Следствие 3. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

 

Признаки существования пределов

Теорема 12. («принцип двух полицейских») Если функция f(x) заключена между двумя функциями g(x) и φ(x), стремя-щимися к одному и тому же пределу A, то она также стремится к этому пределу:

 

Теорема 13. Если функция f(x) монотонна и ограниченна при x < x0 или при x > x0, то существует соответственно её левый предел                  или её правый предел                       

Следствия первого замечательного предела:

       

 

Второй замечательный предел

    

Непрерывные функции и их свойства. Классификация точек разрыва.

Непрерывность в точке

10. Первый замечательный предел и его применение

Второй замечательный предел и его основные следствия

 

Сравнение Б.М.Ф. и Б.Б.Ф.. Свойство эквивалентных бесконечно малых функций.

 

Понятие о производной: её геометрический и механический (физический) смысл

 

Производная функции y=f(x)y=f(x), вычисленная при заданном значении xx, равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси OxOx и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой xx:

f′(x)=tgα

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции.

14. Вывод формул для производных , sin x, cos x

Используем первый замечательный предел.

15. Вывод формул для производных

Формула для приращения функции. Непрерывность функции, обладающей конечной производной

Правила дифференцирования арифметические операции над функциями

 

Производная обратной функции

Производная сложной функции

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Дифференциал и его геометрический смысл

Правила поиска дифференциалов.

 

Дифференцируемость и линеаризация функций.

24. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.

Производные и дифференциалы высших порядков

Теорема Ферма

Теорема Ролля