Определенный интеграл. Понятие об интегрируемости функции

 

Формула Ньютона-Лейбница

 

Основные свойства определенного интеграла

 

Простейшие оценки опр.интеграла. Теорема о среднем.

 

52. Замена переменной под знаком определенного интеграл

Интегрирование четных и нечетных функций по промежутку, симметричному относительно нуля

 

54. Вычисление площади плоских фигур в прямоугольной системе координат и в случае параметрического задания граничного контура

Вычисление объема пространственного тела по заданным площадям его сечений

Пусть V – замкнутая и ограниченная область в Oxyz (тело).

Пусть S (x) (a £ x £ b) – площадь любого сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox.

Найдём объем тела V.

1) Разобьем [ a; b ] на n частей точками

x ₀ = a, x ₁, x ₂, …, x_n = b (где x ₀ < x ₁ < x ₂ < … < x_n)

Плоскости x = x ₀, x = x ₁, x = x ₂, …, x = x_n разобьют (V) на части

(V ₁), (V ₂), …, (V_n) Þ V = ∑ V_i, где V_i – объем (V_i).

 

Вычисление объема тела вращения

Определение длины дуги и ее вычисление в прямоугольной системе координат

 

58) Определение длины дуги и ее вычисление в случае параметрического задания кривой

Рассмотрим теперь случай, когда кривая, длину которой необходимо вычислить, задана параметрически, то есть при этом изменение от до приводит к изменению от до . Пусть функции и непрерывны вместе со своими производными на отрезке и при этом . Тогда , а . Подставим значение данной производной и дифференциала в формулу для длины дуги в прямоугольной системе координат (п. 5):

.

В случае пространственной кривой ее параметрическое задание будет выглядеть следующим образом:

Если указанные функции непрерывны вместе со своими производными на отрезке , то можно доказать, что длина данной кривой вычисляется по формуле

.

Несобственные интегралы 1 рода

Для существования определенного интеграла необходимы условия:

1) [a;b] – конечен,

2) f(x) – ограничена (необходимое условие существования определенного интеграла).

Несобственные интегралы – обобщение понятия определенного интеграла на случай когда одно из этих условий не выполнено.Несобственные интегралы бывают двух видов.Несобственный интеграл 1 рода возникает, когда по крайней мере одно из чисел a, b бесконечно.

 

Несобственные интегралы 2 рода

Если подинтегральная функция имеет на (конечном) интервале интегрирования разрыв второго рода, говорят о несобственном интеграле второго рода.

Определение и основные свойства

Обозначим интервал интегрирования [ a, b ], оба этих числа ниже полагаются конечными. Если имеется всего 1 разрыв, он может находиться или в точке a, или в точке b, или внутри интервала (a, b). Рассмотрим сначала случай, когда разрыв второго рода имеется в точке a, а в остальных точках подинтегральная функция непрерывна. Итак, мы обсуждаем интеграл