Понятие о неопределенном интеграле. Теорема о количестве первообразных для непрерывной функции.

Множество всех первообразных функций F(x) + C для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом

 - неопр. Интеграл

Геометрически неопр. интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых y = F (x) + C ( каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой. (см. рисунок)

f (x) dx называется подынтегральным выражением, f (x) – подынтегральная функция.

Теорема.

Если функция непрерывна на интервале (a, b), то она имеет на этом интервале первообразную.

Таблица основных интегралов

1. .                   6. .                  

2. .  7. .                    

3. .               8. .                    

4. .            9. .                       

5. .              10. .                 

 

11.    

12.      

13.        

14.         

15.   

  16.

Свойства линейности неопределенного интеграла. Примеры.

№1. (Константу можно выносить за знак интеграла)

Доказательство:

1)Найдём производную левой части

2)Найдем производную правой части

№2 (Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов)

Док-во аналогично 1 (нужно продифференцировать левую и правую часть)

38) Свойства инвариантности неопределенного интеграла. Примеры.

 

Интегрирование путем замены переменной. Примеры.

Пример:

Интегрирование по частям. Примеры

Пусть u = u (x) и v = v (x) – непрерывно дифференцируемые функции.

Тогда по свойствам дифференциалов d (uv) = u ∙ dv + v ∙ du.

Проинтегрируем это равенство

или

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

ПРИМЕР

ПРИМЕР

41 Интегрирование выражений вида

Пример 1

Пример 2

Теорема о представлении правильной алгебраической дроби в виде суммы простых дробей. Порядок действий. Пример

Приведем простейшие дроби к общему знаменателю

Приравняем числители получившейся и исходной дроби

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях X

Подставляем в верхний пример (конец первой строчки)

43. Алгоритм интегрирования рациональных функций
Шаг 1. Определить вид многочлена в знаменателе дроби (он может иметь действительные, кратные действительные, комплексные и кратные комплексные корни) и в зависимости от вида разложить дробь на простые дроби, в числителях которых - неопределённые коэффициенты, число которых равно степени знаменателя.
Шаг 2. Определить значения неопределённых коэффициентов. Для этого потребуется решить систему уравнений, сводящуюся к системе линейных уравнений.
Шаг 3. Найти интеграл исходной рациональной функции (дроби) как сумму интегралов полученных простых дробей, к которым применяются табличные интегралы.

Интегрирование иррациональностей

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирование выражений, рациональных относительно тригонометрических функций. Универсальная подстановка

Интегрирование выражений рациональных относительно тригонометрических функций и обладающих свойством четности относительно sin x и cos х

 

Понятие об интегралах, не являющихся элементарными функциями