Определение криволинейного интеграла первого рода

Криволинейный интеграл первого рода

Определение криволинейного интеграла первого рода

Рассмотрим на плоскости  некоторую гладкую кривую , предположим, что функция  определена на кривой . Разобьем кривую  на п произвольных частей точками , выберем на каждой из частичных дуг  произвольную точку  и составим сумму

где  - длина дуги . Полученная сумма называется интегральной суммой первого рода для функции , заданной на кривой .

Обозначим через d наибольшую из длин дуг , т. е. . Если при  существует предел интегральных сумм  (не зависящий от способа разбиения кривой  на части и выбора точек ), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции  по кривой  и обозначается

 или .

Криволинейный интеграл первого рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл (аддитивность, линейность, оценка модуля, теорема о среднем). Но есть отличие:

т. е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования.

 

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. А именно:

1. Если кривая  задана непрерывно дифференцируемой функцией , , то

при этом выражение  называется дифференциалом длины дуги.

2. Если кривая L задана параметрически, т. е. в виде , , где ,  - непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке , то

Это равенство распространяется на случай пространственной кривой , заданной параметрически: , , , . В этом случае, если  - непрерывная функция вдоль кривой , то

3. Если плоская кривая  задана полярным уравнением , то

 

Криволинейный интеграл второго рода

Определение криволинейного интеграла второго рода

Пусть на кривой  определены две ограниченные функции  и . Разобьем кривую на п равных частей точками , , …, , , …, . На каждой из полученных дуг  возьмем произвольную точку . Обозначим через  и  проекции дуги  на оси координат. Затем составим интегральную сумму для функции   [ ]:

Пусть d – наибольшая из длин дуг . Если функция  () непрерывна в точках кривой , то при  существует предел интегральных сумм, не зависящий от способа разбиения кривой  на части и выбора точек . Этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции   [ ] по кривой  и обозначается

Сумму криволинейных интегралов

называют полным криволинейным интегралом второго рода.

Криволинейный интеграл второго рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. В частности,

т. е. криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении направления интегрирования.

 

Поверхностный интеграл

Криволинейный интеграл первого рода

Определение криволинейного интеграла первого рода

Рассмотрим на плоскости  некоторую гладкую кривую , предположим, что функция  определена на кривой . Разобьем кривую  на п произвольных частей точками , выберем на каждой из частичных дуг  произвольную точку  и составим сумму

где  - длина дуги . Полученная сумма называется интегральной суммой первого рода для функции , заданной на кривой .

Обозначим через d наибольшую из длин дуг , т. е. . Если при  существует предел интегральных сумм  (не зависящий от способа разбиения кривой  на части и выбора точек ), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции  по кривой  и обозначается

 или .

Криволинейный интеграл первого рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл (аддитивность, линейность, оценка модуля, теорема о среднем). Но есть отличие:

т. е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования.