Связь поверхностных интегралов первого и второго рода

Если  - углы, образованные соответственно с положительными направлениями осей ,  и , единичной нормалью n к выбранной стороне  поверхности S, тогда связь поверхностных интегралов первого и второго рода выражается следующим равенством

Поскольку n , то поверхностный интеграл первого рода в правой части этого равенства можно записать компактно в векторной форме

F · n ,

где F  - векторное поле, определенное на S.

Векторное поле F можно ассоциировать с полем скоростей жидкости, протекающей через поверхность S. Тогда интеграл

F · n

можно истолковывать механически как общее количество жидкости, протекающее в единицу времени через поверхность  в положительном направлении, т. е. вдоль n. Поэтому этот интеграл называется потоком векторного поля F через поверхность .

Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

где у – часть плоскости , заключенная в первом октанте.

Рис. 36.

Поверхность у можно выразить явно: , , где область  - треугольник, ограниченный прямыми ,  и  (рис. 36). При этом  Данный интеграл сводится к двойному (при этом знаменатель подынтегральной функции равен ):

Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

,

где у – сфера .

В силу симметрии относительно координатных плоскостей поверхности у и подынтегральной функции ограничимся вычислением интеграла при условии , , , а результат умножим на 8.

Используя сферические координаты, запишем параметрические уравнения сферы , , , учитывая, что , . Тогда

а область интегрирования – четверть круга  в параметрической форме имеет вид

, , .

Остается выразить через параметры подынтегральную функцию . На сфере  имеем . Таким образом данный интеграл равен

Пример 3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

где у – внешняя поверхность плоскости , ограниченной координатными плоскостями.

Интеграл будем вычислять покомпонентно, проектируя у на разные координатные плоскости (рис. 37).

Рис. 37.

Вычислим

Выражая явно  через  и , сведем этот интеграл к двойному интегралу по  Подставляя  в подынтегральную функцию и учитывая, что: , , получаем

Остальные интегралы

 и

приводят к такому же результату. Поэтому искомый интеграл равен

Пример 4. Найти поток векторного поля F (x, y, z) x i + y j + z k через часть поверхности эллипсоида

лежащую в первом октанте в направлении внешней нормали.

Искомый поток равен

F · n =

Последний интеграл сводится к поверхностным интегралам второго рода

где , ,  - проекции эллипсоида на соответствующие координатные плоскости.

Рассмотрим, например,

где  можно выразить через  и  из уравнения эллипсоида,  - внутренность четверти эллипса

, , .

Очевидно, что

равен объему восьмой части эллипсоида, которая, как известно, равна . Аналогично находим и другие интегралы, отсюда получаем, что исходный интеграл первого рода, т. е. поток векторного поля, равен

Пример 5. Найти поток вектора F i j k через поверхность тела, ограниченного сферой , плоскостью  и однополостным гиперболоидом .

Имеем

F · n

На плоскости  и  поверхность у проектируется дважды, с обеих сторон, к тому же поверхность у симметрична относительно этих плоскостей. Поэтому соответствующие интегралы получаются нулевыми:

А теперь вычислим

Поверхность у состоит из трех частей (рис. 38):

Рис. 38.

а) сегмент сферы , для которого  (внешняя нормаль образует с  острый угол); проекция этого сегмента на  есть круг (сегмент сферы пересекается с гиперболоидом  по линии

 —

окружность радиуса );

б) сегмент параболоида проектируется на  в кольцо ,  (из уравнения гиперболоида);

в) третья часть – это круг , на котором .

Поэтому F · n

 

Пример 6. Найти массу полусферы ,  радиуса  с поверхностной плотностью, равной .

Имеем

где

,

Следовательно,

Переходя к полярным координатам в двойном интеграле, получаем

 

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение поверхностного интеграла первого рода.
2. Дайте определение поверхностного интеграла второго рода.
3. Приведите формулу для вычисления статических моментов поверхности относительно координатных плоскостей.
4. Приведите формулу для вычисления моментов инерции относительно координатных осей и начала координат.
5. В чем заключается связь поверхностных интегралов первого и второго рода?

Задания для самостоятельного решения:

1. Вычислить следующие криволинейные интегралы первого рода:

а)  - дуга цепной линии , , , ;

б)  - четверть эллипса , .

2. Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды , , .

3. Вычислить массу:

а) четверти эллипса , , расположенную в первой четверти, если ее линейная плотность  равна у.

б) контура прямоугольника со сторонами, лежащими на прямых , , , , если ;

в) дуги параболы , заключенной между точками О (0,0) и , если .

4. Вычислить площади цилиндрических поверхностей, ограниченных снизу плоскостью , а сверху поверхностью , при условии, что известна направляющая  этой цилиндрической поверхности:

а) , ;

б) ,  ().

5. С помощью криволинейного интеграла первого рода найти координаты центра тяжести кривых:

а) , ;

б) ().

 

6. Вычислить криволинейный интеграл:

а) ,

по разным путям, соединяющим точки , , :

1)  - отрезок ОА;

2) - ломаная ОВА;

3)  - ломаная ОСА;

4)  - парабола, соединяющая точки  и  и симметричная относительно оси .

5) проверить выполнение условия Грина.

б)

по разным путям, соединяющим точки , , , :

1) ;

2) ;

3) ;

4)  - дуга  параболы .

в) ,

взятый вдоль различных путей, соединяющих точки , , , :

1)  - отрезок ОА;

2)  - парабола с осью симметрии , проходящая через точки О и А;

3)  - парабола, проходящая через точки О и А с осью симметрии ;

4) - ломаная ОВА;

5)  - ломаная ОСА.

7. Вычислить:

а)  где  - дуга кривой , , пробегая от точки  к .

 

б) , где линия L – задана уравнениями , , .

в) , где L – дуга параболы , соединяющей точки  и .

8. Вычислить криволинейные интегралы:

а) .

б) .

 

9. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы:

а)  где  - окружность , пробегаемая против часовой стрелки.

б)  - эллипс .

10. Найти работу силы:

а) F = i + j при перемещении материальной точки вдоль контура прямоугольника с вершинами , , , .

б) F = i + j при перемещении материальной точки вдоль эллипса

.

 

 

11. Вычислить поверхностные интегралы первого рода:

а) , где часть плоскости  при условии , , .

б) , часть плоскости , лежащая в первом октанте.

в)  где  - боковая поверхность конуса  ().

12. Вычислить следующие интегралы второго рода:

а)  где у – внешняя сторона тетраэдра, ограниченного плоскостями , , , .

б)   где  - внешняя сторона эллипсоида

в) , где у – внешняя сторона сферы

13. Найти поток вектора:

а) F i j k через поверхность тела  в направлении внешней нормали.

б) F 2 x i - y j через часть поверхности цилиндра , , ,  в направлении внешней нормали.

 

14. Найти массу поверхности:

а) куба , , , если поверхностная плотность в каждой точке  равна .

б) куба , , , если поверхностная плотность в каждой точке  равна .