Приложения криволинейного интеграла второго рода

Интеграл

можно представить в виде скалярного произведения векторов F = P i + Q j и ds = i · dx + j · dy:

.

В таком случае

выражает работу переменной силы F = P i + Q j при перемещении материальной точки  вдоль кривой  от точки А до точки В.

При А= В кривая  замкнута, а соответствующий криволинейный интеграл по замкнутой обозначается так:

.

В этом случае направление обхода контура поясняется стрелкой на кружке, расположенном на знаке интеграла.

Предположим, что в плоскости  имеется односвязная область , ограниченная кривой ( -обозначение границы области ), а в области  и на границе  функции  и  непрерывны вместе со своими частными производными.

Теорема. Пусть А и В – произвольные точки области ,  и  - два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (рис. 32). Тогда следующие условия равносильны:

1. (условие Грина).

2.  (криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования).

3.  (интеграл по любому замкнутому пути равен нулю).

4.  (выражение  представляет собой полный дифференциал некоторой функции ).

Рис. 32.

 

В случае выполнения любого из равносильных условий теоремы криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки  и  из области , можно вычислить при помощи формулы Ньютона – Лейбница

,

где  - некоторая первообразная для  может быть найдена при помощи криволинейного интеграла

.

В этих же условиях на функции  и , а также на область , имеет место формула Грина, позволяющая свести криволинейный интеграл по замкнутому контуру к двойному интегралу

.

Считаем, что обход границы  области  в криволинейном интеграле

совершается в положительном направлении, т.е. при таком обходе границы область  остается слева; для односвязной области это направление совпадает с направлением против часовой стрелки.

Также площадь  области  может быть вычислена при помощи криволинейного интеграла второго рода:

.

Пример 1. Даны функции ,  и точки , , . Вычислить криволинейный интеграл

,

где:

1)  - отрезок ОА;

2) - ломаная ОВА;

3)  - ломаная ОСА;

4)  - парабола, симметричная относительно оси  и проходящая через точки О и А;

5) проверить выполнимость условия Грина.

Рис. 33.

 

Пути интегрирования, соответствующие пунктам 1) – 4), изображены на рис.33.

1) Отрезок ОА может быть записан в виде: , . Тогда  и

.

2) Используем свойство аддитивности, вычисляя отдельно интеграл по отрезкам  и . Тогда:

а) : здесь , , т.е. , откуда

б) : , , т. е. , и

Таким образом,

3) Этот интеграл вычислим аналогично предыдущему.

а) : , (т. е. ), , откуда

б) : , , , следовательно,

Окончательно

4) Подставим координаты точки  в равенство  найдем уравнение данной параболы  При этом  и , откуда (путь ОА по параболе обозначим )

 

 

5) Имеем

, ,

т. е. условие Грина не выполняется. Вычисления в пунктах 1) – 3) этой задачи показывают, что данный криволинейный интеграл второго рода зависит от пути интегрирования.

 

Пример 2. Вычислить интеграл

,

где  - верхняя половина эллипса , пробегаемая по ходу часовой стрелки.

Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: , , , т. е. , . Подставляя в интеграл и учитывая направление обхода (откуда следует, что  меняется от π до 0), получаем

Пример 3. Вычислить

по дуге винтовой линии  при изменении  от 0 до .

Сначала найдем дифференциалы переменных: .

Выразим подынтегральное выражение через , сводя исходный интеграл к

определенному:

Пример 4. Показать, что интеграл

не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки  и , и вычислить его.

Проверим условие Грина. Положим , . Тогда ,и, значит, данный интеграл действительно не зависит от пути интегрирования. Для вычисления данного интеграла в качестве пути интегрирования возьмем отрезок, соединяющий точки O  и B . Отрезок OB можно задать так: , . При этом , и интеграл легко сводится к определенному интегралу.

.

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L – отрезок, соединяющий точку с точкой .

Составим параметрические уравнения отрезка CD, используя уравнения прямой, проходящей через две точки:

Отсюда , , , . Далее, находим , , , подставляем все нужные выражения в данный интеграл, обозначенный через J, и вычисляем определенный интеграл:

 

Пример 6. Проверить, является ли выражение

 

полным дифференциалом некоторой функции  и если да, то найти эту функцию.

Обозначим . Тогда

.

Таким образом, условие Грина  имеет место при .

Следовательно, данное выражение есть полный дифференциал некоторой функции , которая может быть найдена как криволинейный интеграл

 

 

,

где  - произвольная фиксированная точка плоскости , не лежащая на оси  (так как ). Положим , а в качестве пути интегрирования выберем путь , изображенный на рис. 34.

Тогда сокращенно можно написать

Рис. 34.

Имеем: 1) , т.е.  и

.

2) :  - фиксировано, следовательно, , откуда

3) Таким образом,

Проверка показывает, что действительно,

Пример 7. С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный интеграл

в двойной и с его помощью вычислить интеграл по контуру прямоугольника  (рис.35), где , , , .

Рис. 35.

Имеем , , откуда

Таким образом, в силу формулы Грина данный интеграл равен двойному интегралу от  по прямоугольнику , т. е.

Пример 8. Вычислить площадь эллипса при помощи криволинейного интеграла.

Запишем эллипс  в параметрической форме , , , после чего воспользуемся формулой для площади области

Пример 9. Вычислить работу силового поля F = y i – x j при перемещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса

из точки  в точку .

Работа  силового поля F = P i + Q j при перемещении материальной точки   вдоль линии   равна

.

Запишем дугу эллипса   в параметрической форме: , , . Тогда ,  и

 

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение криволинейного интеграла второго рода от функции .

2. Что называется полным криволинейным интегралом второго рода?

3. Зависит ли криволинейный интеграл второго рода от пути интегрирования?

4. Приведите формулу Грина.

 

 

Поверхностный интеграл