Вероятность безотказной работы. Основной закон надежности. Принцип Н. М. Седякина

Исторически сложилось так, что законом надежности объекта назвали закон безотказности. Этот закон P(t) определяет вероятность безотказной работы в течение заданной наработки t. Если известен закон распределения продолжительности работы невосстанавливаемого элемента в виде функции распределения F(t), то вероятность работы без отказа в течение времени t

                                           (5.1)

                                           P() = 0; P(0) = 1.

 Общий вид этого закона показан на рис.5.1.

Рис.5.1. Общий вид закона надежности

Вероятность того, что отказ наступит на интервале [a, b], равна

F(a  t b) = F(b) – F(a) = P(a) –P(b).

Закон надежности можно выразить через безусловную плотность вероятности отказа f (t) в момент времени t в соответствии с соотношением (3.13):

P(t) = 1 – F(t) = 1 -  =  -  = , (5.2)

Или, с учетом (3.14), через условную плотность вероятности (интенсивность отказов) λ(t):

P(t) = 1 – F(t) = .(5.3)

Соотношение (5.3) называют уравнением связи показателей надежности.

    Значение показателя степени функции (5.3) Н.М. СЕДЯКИН предложил называть выработанным за время t ресурсом надежности r (t)

.                  (5.4)

    Ресурс надежности представляет собой безразмерную величину, значение которой может изменяться от нуля до бесконечности и равно степени уменьшения вероятности безотказной работы (ВБР) с ростом наработки. Численно r (t _н) равен площади под кривой (рис.5.2) интенсивности отказов (параметра потока отказов для восстанавливаемой системы) в пределах наработки (0, t _н).

    При длительной работе технического объекта в одних и тех же условиях в неизменном режиме условная ВБР в будущем зависит от выработанного ресурса за время t:

P (t, t+Δt_n) =  = . (5.5)

    Если же режим эксплуатации переменный, то с вычислением вероятности возникают трудности, и эта задача решается специальными методами.

Интенсивность отказов

Такое название в теории надежности получила условная плотность λ(t) распределения вероятности наработки невосстанавливаемого объекта до отказа. В соответствии с определением, λ(t) представляет условную вероятность отказа невосстанавливаемого объекта в момент времени t при условии, что до этого времени отказа не было. Исходя из соотношений (3.14) и (5.1) можем записать:

λ(t) =  =  = -  = - = - .    (5.6)

Формула (5.6) соответствует мгновенной интенсивности отказов. Средняя величина на интервале времени [t₁, t₂] рассчитывается по формуле

.

Понятие интенсивности отказов в соответствии с определением вводится только для невосстанавливаемых объектов, таких как электрическая лампочка, подшипник качения и т.д.

Восстанавливаемые элементы, которыми являются многие элементы электростанций, могут иметь много отказов, после которых происходит восстановление их работоспособности. В непосредственном виде понятие интенсивности отказов для них неприменимо, так как условие, что до момента t отказов не было, не выполняется. Отказы были, но после восстановления работоспособности оборудование продолжало работать.

Понятие интенсивности отказов для восстанавливаемых объектов имеет смысл в том случае, если объект в перерывах между отказами восстанавливается, а время эксплуатации t каждый раз начинает отсчитываться с момента последнего включения в работу. Характер изменения интенсивности отказов во времени показан на рис.5.2.

Рис.5.2. Зависимость интенсивности отказов от продолжительности работы (в «жизненном» цикле)

В «жизненном» цикле изделия можно выделить три характерных периода:

1) приработки;

2) нормальной эксплуатации;

3) старения изделия.

В первый период отказы связаны с качеством проектирования, изготовления, монтажа, входного и выходного контроля. Приработочные отказы объекта устраняются во время пуско-наладочных испытаний, его опытной эксплуатации и в принципе должны быть выявлены и устранены перед сдачей объекта в эксплуатацию. Обычно начинают рассчитывать надежность объекта, начиная с момента t1.

На втором этапе отказы связаны с качеством эксплуатации, при этом процессы старения пока не влияют на поведение объекта. Интенсивность отказов остается приблизительно постоянной, λ(t)=λ2.

В момент времени t2 начинают проявляться процессы старения, интенсивность отказов возрастает. В некоторый момент времени t3 эксплуатация объекта становится экономически неоправданной из-за увеличения затрат на восстановительные ремонты, оборудование достигает предельного состояния и выводится из работы.

Если известен момент времени t2 и имеется возможность назначить t3=t2, то для такого объекта можно принять λ(t)=λ2. Для периода t > t2 такое допущение будет ошибочным. Если расчетчиков устраивает результат с запасом, т.е. с заведомо лучшими фактическими показателями надежности, чем дает расчет, то для этого временного интервала можно также принять λ(t)=const, но при этом должно быть λ(t) > λ2.

При λ=const получается наиболее простой, экспоненциальный закон надежности объекта:

.                    (5.7)

Здесь λ выступает в виде параметра распределения (плотность распределения отказов).

Средняя наработка до отказа

    Это математическое ожидание случайной величины t – продолжительности работы до первого отказа. Зная закон надежности, можно найти значение средней наработки:

T₁ = T_ср = dt = - d[1 - F(t)].

    Интегрируя полученное соотношение по частям, получим окончательно:

T₁ = T_ср = .                (5.8)

    На рис.5.3. приведена геометрическая интерпретация средней наработки до отказа.

Рис.5.3. Схема определения средней наработки до отказа

Величина T₁ есть такое значение t, при котором площадь прямоугольника с высотой 1 и основанием T₁ равна площади под кривой закона надежности. Для этого заштрихованные площади должны совпадать.

В том случае, если используется экспоненциальный закон надежности при λ=const, значение Т₁ определяется из выражения

T₁            (5.9)

Здесь интенсивность отказов λ выступает в качестве параметра закона надежности. Аппроксимация экспоненциальным распределением закона надежности очень удобна. Среднюю наработку до отказа можно оценить эмпирически по формуле

 

T₁ = ,        (5.10)

где Ti – продолжительность работы до отказа i-го объекта; n – количество однотипных элементов, за которыми проводится наблюдение.

Величину Т₁ можно также определить по экспертным оценкам, ориентируясь на опыт и справочные данные. Если объект является невосстанавливаемым, то средняя наработка до отказа является также характеристикой долговечности. Вопрос об аппроксимации закона экспоненциальным распределением решается с учетом допустимых погрешностей при таком расчете.