Тема «Дифференциальные уравнения»

Контрольная работа

Вариант 1

Тема «Дифференциальные уравнения»

1. Найти решение линейного дифференциального уравнения

(1) ,   (2)  (3)

Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»

2. Определить сходимость числового ряда

3. Найти область сходимости функционального ряда:

4. Разложить функцию в ряд Маклорена: (1)  (2)  по степеням

Тема «Комплексные числа и теория функции комплексного переменного»

5. Вычислить и записать в алгебраической форме .

6. Решить уравнение: .

7. Вычислить и записать в тригонометрической форме

8. Изобразить область, ограниченную линиями а) ; б)

 

Тема «Теория вероятностей и математическая статистика»

9. Детали изготавливаются на двух станках. На первом станке - 40%, на втором - 60%. Среди деталей, изготовленных на первом станке, брак составляет 2%, на втором – 1.5%. Случайным образом взята одна деталь для контроля. Найти вероятности событий: 1) деталь бракованная; 2) деталь изготовлена на первом станке, если она при проверке оказалась без брака.

10. Вероятность появления опечатки на странице книги, содержащей 100 страниц, равна 0.03. Найти вероятность того, что в книге имеется не более двух опечаток: 1) по биномиальной формуле; 2) по формуле Пуассона.

11. СВ  задана законом распределения. Найти: 1) числовые характеристики , ; 2) функцию распределения  и построить ее график; 3)вероятность ; 4) закон распределения величины СВ . Вычислить ,  дважды, используя свойства (по результатам предыдущих пунктов) и непосредственно составленный закон распределения.

	10	12	20	25	30
	?	0,2	0,1	0,2	0,4

 

 

12. Дана плотность вероятности  непрерывной случайной величины X:      Найти: 1) С; 2) F(x); 3) m_X;4) D_X; 5) s(x); 6) Р(X < 2); 7) построить график   и F(x).

13. Математическая статистика.

1) Результаты измерений представлены таблицей. Составить вариационный ряд, разбив всю вариацию на 9–10 интервалов.

2) Построить: а) полигон частот;

                    б) гистограмму частот;

                    в) график эмпирической функции распределения.

3) Выдвинуть гипотезу о распределении генеральной совокупности.

4) Найти числовые характеристики выборки: , , , .

5) Найти доверительные интервалы для генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения по следующим уровням надежности:

.

6) Построить кривую распределения  по опытным данным. Сравнить её с графиком идеально нормального распределения, используя , .

7) Проверить правило ''3-x  ''.

8) Применив критерий согласия Пирсона–χ² с заданным уравнением надежности , окончательно принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу о распределении генеральной совокупности.

72	96	85	95	91	88	86	79	86	72
82	68	71	87	89	89	81	81	79	79
84	91	87	83	90	69	100	96	79	94
93	86	81	83	84	92	93	85	84	88
63	87	87	81	95	90	69	95	96	84
82	79	88	83	90	92	80	81	85	81
84	96	86	94	85	92	79	75	94	66
88	79	89	75	92	79	78	95	84	91
91	74	73	73	85	85	76	83	76	86
71	85	92	84	90	82	90	73	89	87

Вариант 2

Тема «Дифференциальные уравнения»

1. Найти решение линейного дифференциального уравнения

(1) ,   (2)  (3)

Тема «Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора»

2. Определить сходимость числового ряда

3. Найти область сходимости функционального ряда:

4. Разложить функцию в ряд Маклорена: (1)  (2)  по степеням

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 0

Переменного»

5) Найти , , , если , .

Решение.

;

;

;

.

6)  Решить уравнение .

Решение.

Раскроем скобки: .

Создадим систему: .

Следовательно,      Получаем:

7) Найти все значения .

Решение.

Запишем в тригонометрической форме: .

Теперь используем формулу Муавра

, .

Отсюда получаем три значения корня:

, , ; , , ;	Рисунок 1.
, , .
Изобразим полученные значения на окружности радиуса  (рис. 2). Как видно из рисунка,  являются вершинами правильного треугольника.

8) Изобразить область, ограниченную линиями:

а)

Решение.

Преобразуем:

 

 

б)

 

	Рисунок 3

 

9) Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,8, третий – 0,7. Пусть события   – студент сдаст i -ый экзамен .

Написать формулу, выражающую следующие события через события  и вычислить вероятность этих событий:

а) событие В - студент будет сдан только 2–ой экзамен;

б) событие С - студентом будет сдан только один экзамен;

в) событие D - студентом будут сданы три экзамена;

г) событие E - студентом будет сдано два экзамена;

д) событие F - студентом будет сдан хотя бы один экзамен.

Решение.

Т.к. события   – студент сдаст i -ый экзамен , тогда вероятности

i	сдачи экзаменов	не сдачи экзаменов
1
2
3

а) Событие В – студент сдаст только 2-ой экзамен состоит в том, что студент сдаст 2-ой экзамен и не сдаст 1-ый и 3-ий экзамены, т.е.  , учитывая что события независимы, получим

.

б) Событие С – студент сдаст один экзамен из трех, т.е. сдаст или 1-й экзамен из трех, или 2-й, или 3-й из трех экзаменов. Следовательно, событие .

Т.к. события  несовместны, то

в) Событие D – студент сдаст все три экзамена, т.е. . Тогда

.

г) Событие Е – студент сдаст два экзамен из трех, т.е. не сдаст или 1-й экзамен из трех, или 2-й, или 3-й из трех экзаменов.

Следовательно, событие . Т. к. события  несовместны, то

д) Пусть событие F – студент сдаст хотя бы один экзамен. Удобнее записать это событие, если перейти к противоположному событию: .

Противоположное событие  заключается в том, что студент не сдаст ни один экзамен, т.е. и 1-й не сдаст, и 2-й не сдаст, и 3-й не сдаст.

Значит, событие  и вероятность данного события равна

.

Ответ: а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , .

10) При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью . Пусть событие  двигатель начнет работать при i -ом включении зажигания. Событие В состоит в том, что двигатель начнет работать при третьем включении зажигания; С – для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз.

Написать формулу выражающую события В и С через события  и вычислить вероятность этих событий.

Решение.

Т. к. событие  – двигатель начнет работать при i-ом включении зажигания, то .

 Тогда событие В – двигатель начнет работать при третьим зажигании, следовательно, при 1-ом и при 2-ом зажигание не сработало. Событие В можно представить в виде  и вероятность этого события равна

.

Событие С – для запуска придется включать зажигание не более трех раз. Событие С – наступит, если двигатель начнет работать при 1-м, или при 2-м, или при 3-м включении, т.е.  и, следовательно, вероятность события С

Ответ: , ; 

       ,

11) Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти вероятность того, что среди 96 студентов на лекцию опоздает не более 3-х человек 1) по биномиальной формуле, 2) по формуле Пуассона.

Решение.

Решение задачи основывается на вычислении вероятностей .

Событие А – «на лекцию опоздает не более 3-х человек» означает, что опоздает или 0, или 1, или 2, или 3 студента, т. е. k = 0, или k = 1, или k = 2, или k = 3.

Искомая вероятность определяется:

.

Вычислим  разными способами.

1) по биномиальной формуле (формуле Бернулли): ,

где , .

2) Т. к. ,  и , то искомую вероятность можно вычислить по приближенной формуле Пуассона   

, где .

Вычисляем вероятность по формуле Пуассона

Таким образом, получаем

Ответ: а) , б)

 

		1	2	3
12) СВ  задана законом распределения.			?

Найти:

1) числовые характеристики , ;

2) функцию распределения  и построить ее график;

3) вероятность ;

4) закон распределения величины СВ . Вычислить ,  дважды, используя свойства (по результатам предыдущих пунктов) и непосредственно по составленному закону распределения.

Решение.

В задаче рассматривается дискретная СВ Х, заданная рядом распределения. По свойству ряда  Отсюда получаем

1) Математическое ожидание:

.

Дисперсия:

            

.

Среднее квадратическое отклонение: .

2) Функция распределения имеет вид (рис. 1):
	Рис. 1

 

3) .

4) – дискретная СВ. Составим для нее ряд распределения:

	7	5	3

 

Вычислим числовые характеристики СВ , используя составленный ряд:

.

.

Вычислим числовые характеристики СВ , используя их свойства:

.

.

Ответ: , , , , .

14) Плотность вероятности непрерывной СВ X задана функцией

Найти:

1)	параметр С и построить график ;
2)	интегральную функцию   и построить ее график;
3)	математическое ожидание , дисперсию    и среднее квадратическое отклонение ;
4)	вероятность  дважды, используя дифференциальную и интегральную функции. Результат проиллюстрируйте на графиках.

Решение.

Данный закон распределения является непрерывным.

1) По свойству плотности (дифференциальной функции):

.

Получаем функцию:

	и ее график (рис. 3).
		Рис. 3

2) Найдём интегральную функцию, учитывая свойства:

· если , то ;

· если , то

;

· если , то

.

· если , то

.

В итоге получаем функцию и её график (рис. 4)
	Рис. 4

3) Вычислим числовые характеристики:

· математическое ожидание:

    

;

· дисперсию по формуле :

    

    ;

    ;

· среднее квадратическое отклонение: .

4) Найдём вероятность того, что СВ X примет значения из интервала  двумя способами:

q . Здесь вероятность численно равна площади выделенной фигуры (рис. 5). q . В этом случае вероятность численно равна длине отрезка на оси  (рис. 6). При этом результаты вычислений совпадают при различных способах.
	Рис. 5
	Рис. 6

Ответ: ;

; ; ; .

 

15) В результате опыта получена выборочная совокупность:

88	104	91	97	77	103	86	79	86	100	84	74	76	75	93	103	80	96	72	95
82	68	71	87	89	89	81	81	70	79	81	102	75	80	90	85	82	77	94	102
84	91	87	83	90	69	83	96	79	94	87	95	99	83	80	93	90	79	93	105
93	86	81	83	84	92	93	85	84	88	95	85	84	90	93	95	98	88	79	91
77	85	93	85	87	100	76	79	90	91	86	88	93	80	88	88	90	68	89	90

1. По данной таблице составить интервальный вариационный ряд, разбив всю вариацию на 8-10 интервалов.

2. По сгруппированным данным построить:

а)	полигон относительных частот;
б)	гистограмму относительных частот;
в)	график эмпирической функции распределения.

3. Найти числовые характеристики выборочной совокупности: , , , , s.

4. Построить:

а)	на чертеже гистограммы её теоретический аналог ;
б)	на чертеже эмпирической функции  её теоретический аналог .

5. По виду гистограммы и эмпирической функции распределения выборки выдвинуть гипотезу о распределении генеральной совокупности.

6. Проверить выполнение правила «трёх сигм».

7. Применив критерий согласия Пирсона  с заданным уровнем значимости , окончательно принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу о распределении генеральной совокупности.

8. Построить на одном чертеже:

а)	полигон относительных частот  и кривую распределения . Сравнить график  с графиком идеально нормального распределения;
б)	гистограмму теоретических вероятностей (относительных частот)  и график .

9. Найти доверительные интервалы для генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения по уровню надёжности .

Решение.

1. Разобьем всю вариацию объёмом  на  частичных интервалов равной длины и посчитаем частоты попадания наблюдаемых значений в частичные интервалы.

Длину интервала находим по формуле .

За начало первого интервала примем . Получим последовательность интервалов: [66; 70], (70; 74], …, (102; 106].

Составим вариационный ряд частот и относительных частот:

 

	интервал	середина интервала	частота	относительная частота
1	[66; 70]	68	4	0,04
2	(70; 74]	72	3	0,03
3	(74; 78]	76	7	0,07
4	(78; 82]	80	16	0,16
5	(82; 86]	84	18	0,18
6	(86; 90]	88	20	0,20
7	(90; 94]	92	15	0,15
8	(94; 98]	96	7	0,07
9	(98; 102]	100	6	0,06
10	(102; 106]	104	4	0,04
Σ	–	–	100	1

 

Отметим, что  – объём выборки; .

Статистическое распределение выборки является оценкой неизвестного распределения. В частности, относительные частоты  являются статистическими аналогами вероятностей полной группы несовместных событий.

 

2. Вторым этапом обработки статистических данных является построение полигона, гистограммы относительных частот и эмпирической функции распределения. а) Полигон относительных частот вариационного ряда – ломаная линия, соединяющая точки . График полигона представлен на рис. 11.

Рис. 11

Полигон относительных частот является статистическим аналогом многоугольника распределения дискретной случайной величины Х.

 

б) Гистограмма относительных частот изображается только для интервального ряда и имеет вид ступенчатой фигуры (рис. 12).  На каждом частичном интервале строим прямоугольник высотой .

Рис. 12

Гистограмма относительных частот является статистическим аналогом дифференциальной функции распределения (плотности)  непрерывной случайной величины Х.

в) График эмпирической функции распределения  непрерывной случайной величины X совпадает с кумулятой (графиком накопленных частот).

Отметим на плоскости точки, соответствующие значениям функции  на концах интервалов, и соединим их отрезками прямых (рис. 13).

		70	74	78	82	86	90	94	98	102
	0	0,04	0,07	0,14	0,30	0,48	0,68	0,83	0,90	0,96	1

Рис. 13

Эмпирическая функция распределения  является статистическим аналогом интегральной функции распределения  случайной величины Х.

 

3. Найдем числовые характеристики выборки.

Выборочные характеристики – это функции наблюдений, приближённо оценивающие соответствующие числовые характеристики случайной величины.

1) Мода  находится внутри интервала, для которого соответствующая частота максимальна. В нашем случае , при этом .

Моду можно определить на чертеже гистограммы (рис. 12) или вычислить по формуле

,

где  – длина частичного интервала ,

 – частость, соответствующая предыдущему частичному интервалу ,

 – частость, соответствующая следующему частичному интервалу .

Тогда получим

.

2) Медиана  интервального вариационного ряда принадлежит тому частотному интервалу, для которого накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая накопленная частота меньше половины всей суммы частот. Геометрически прямая  делит площадь гистограммы пополам.

Медиана может быть приближённо найдена на чертеже графика  (рис. 13), как значение признака, для которого . Для данного вариационного ряда значение .

Значение  вычисляем по формуле

.

Тогда получим

.

3) Для нахождения выборочной средней , выборочной дисперсии , выборочного среднего квадратического отклонения  (статистические аналоги соответствующих числовых характеристик случайной величины) заполним вспомогательную таблицу.

i
1	68	4	0,04	2,72	184,96
2	72	3	0,03	2,16	155,52
3	76	7	0,07	5,32	404,32
4	80	16	0,16	12,80	1024,00
5	84	18	0,18	15,12	1270,08
6	88	20	0,2	17,60	1548,80
7	92	15	0,15	13,80	1269,60
8	96	7	0,07	6,72	645,12
9	100	6	0,06	6,00	600,00
10	104	4	0,04	4,16	432,64
Σ	–	100	1	86,4	7535,04

Находим выборочное среднее:

;

выборочную дисперсию:

;

выборочное среднее квадратическое отклонение: ;

исправленную выборочную дисперсию:

;

исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение

.

Т. к. число наблюдений  достаточно велико, то вместо  можно использовать неисправленную выборочную дисперсию .

4. Точечной оценкой математического ожидания  является средняя выборочная , тогда полагаем ; точечной оценкой генерального среднего квадратического отклонения  является исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, т. е. .

 

а) Вид гистограммы относительных частот напоминает график плотности функции  нормального распределения непрерывной случайной величины .

Построим на одном чертеже с гистограммой относительных частот