Этапы обучения решению комбинаторных задач в начальной школе.

В обучении школьников решению комбинаторных задач соблюдается этапность.

Первый этап – подготовительный. На этом этапе учащиеся приобретают опыт образования объектов из отдельных элементов. Новые объекты ученики составляют, осуществляя хаотичный перебор, и от них не требуется найти все возможные варианты в данной задаче.

Пример задачи.

1. Составьте из трех одинаковых по размеру кубиков красного, желтого и синего цвета несколько отличающихся друг от друга построек.

2. Скажи, из каких фигур составлен первый домик. Дорисуй второй домик так, чтобы изменился порядок расположения фигур. Дорисуй третий домик так, чтобы изменился набор используемых фигур. Раскрась домики так, чтобы они отличались по цвету друг от друга.

Способ решения задачи на данном этапе. В процессе решения задачи учащиеся перебирают все возможные варианты решения и фиксируют их в виде рисунка. Решая такие задачи, учащиеся приобретают опыт хаотичного перебора.

Также на этом этапе идет работа над совершенствованием мыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения), которые входят в состав деятельности при решении комбинаторных задач. Особое внимание уделяется сравнению объектов, состоящих из отдельных элементов. В этом случае сравнение может быть проведено по таким основаниям, как: числу элементов; составу, входящих в объект элементов; порядку расположения элементов в объекте.

Например, предлагаются следующие задания:

1. Рассмотри внимательно колечки из бусинок. Скажи, что изменяется от одного колечка к другому.

2. Найди пуговицу, которая отличается от других. Объясни, в чем ее отличие.

Второй этап. Обучение школьников решению задач с использованием систематического перебора.

Решаются задачи с небольшим числом вариантов.

Например, мы можем предложить следующие примеры комбинаторных задач:

5. Дети идут в поход. Из лагеря №1 им нужно дойти в лагерь №2. Помоги детям выбрать самый короткий и удобный для похода путь.

Какой путь из одного лагеря в другой посоветуешь водителю грузовика? Почему?

По сложности осуществления перебора задачи повышенной трудности делятся на следующие группы:

1. Задачи, в которых нужно произвести полный перебор во всех возможных вариантах.

Пример задачи. Расставьте знаки «+» и «-» между данными числами 9…2…4, составьте все возможные выражения.

Способ решения задачи – проводится полный перебор вариантов (используется прием полной индукции).

Варианты решения. 9+2+4, 9- 2-4, 9-2+4, 9+2-4.

2. Задачи, в которых производится сокращенный перебор вариантов из-за нецелесообразности выполнения полного перебора.

Пример задачи. Четыре фигуры нарисованы в ряд: большой и маленький квадраты, большой и маленький круги так, что на первом месте находится круг и одинаковые по форме фигуры не стоят рядом. Отгадайте последовательность рассматриваемых фигур.

Способ решения задачи – всего существует 24 различных вариантов расположения этих фигур и составлять их все, а потом выбирать соответствующие данному условию нецелесообразно, поэтому проводится сокращенный перебор вариантов, удовлетворяющих условию задачи.

Варианты решения:

Большой круг – большой квадрат – маленький круг – маленький квадрат.

Большой круг – маленький квадрат – маленький круг – большой квадрат.

Маленький круг – большой квадрат – большой круг – маленький квадрат.

Маленький круг – маленький квадрат – большой круг – большой квадрат.

3. Задачи, в которых операция перебора производится несколько раз, но по отношению к разного рода объектам.

Пример задачи. Три компаньона одной фирмы хранят ценные бумаги в сейфе, на котором три замка. Компаньоны хотят распределить между собой ключи от замков так, чтобы сейф мог открываться в присутствии двух компаньонов, но не одного. Как это можно сделать?

Способ решения задачи. Сначала перебираются все возможные случаи распределения ключей. Каждому компаньону можно дать по 1 ключу или по 2 ключа, или по 3 ключа. Потом выбранный вариант проверяется в разных ситуациях.

Варианты решения. Для записи решения задачи можно выбрать различные способы обозначения ключей (заместителей реальных предметов).

При отборе комбинаторных задач важно учитывать следующие условия:

1. Совокупность задач должна удовлетворять принципу полноты.

С этой точки зрения необходимо в работе над комбинаторными задачами использовать следующие основные виды комбинаторных задач:

- на упорядочение элементов множества,

- на выбор подмножеств и их упорядочение,

- на выбор подмножеств.

2. Необходимо учитывать характер содержащегося в них требования.

С этой точки зрения можно выделить следующие группы задач:

- Задачи, в которых требуется найти и сосчитать, сколько всего можно составить различных вариантов;

- Задачи, в которых требуется выяснить, существует ли определенная конфигурация, отвечающая поставленным условиям;

- Задачи, в которых нужно найти и выбрать наилучший вариант по определенным критериям.