Задача на выбор подмножеств и их подсчет их элементов.

Красная шапочка несла бабушке 14 пирожков: с мясом, с грибами и с капустой. Пирожков с капустой было наибольшее количество. Причем их вдвое больше, чем пирожков с мясом. Сколько пирожков с грибами?

Задача, в которой требуется найти и сосчитать, сколько всего можно составить различных вариантов.

Площадь прямоугольника равна 12 кв. см. Длины его сторон выражена целыми числами. Сколько различных прямоугольников можно построить согласно этим условиям?

Задача, в которой нужно найти один наилучший вариант, соответствующий определенным условиям.

В трехзначном нечетном числе сумма цифр равна 3. Известно, что все цифры различные. Найди это число.

Рассмотрение комбинаторных задач и различных возможностей их решения обеспечивают ученику выбор путей и средств решения в соответствии с индивидуальными особенностями.

Третий этап. Обучение школьников решению задач с использованием систематического перебора с использованием средств организации перебора.

К средствам организации систематического перебора относятся таблицы и графы.

Работа с графическими средствами отнесена на третий этап, так как, во-первых, при решении задач с небольшим числом элементов нет необходимости их использования, во-вторых, «язык» графов и таблиц не совсем прост и понятен детям, вследствие чего требуется специальное ознакомление с ними.

Прием графического и предметного моделирования является важным средством решения задач повышенной трудности.

Моделирование в широком смысле этого слова – замена действий с реальными предметами и действия с их образцами, моделями, муляжами, макетами, а также с графическими заменителями: рисунками, чертежами (с соблюдением масштаба), схемами (без точного соблюдения масштаба).

Предметное и графическое моделирование математической ситуации при решении задач давно применяется в школьной практике. Значение наглядности как средства развития более сложных форм конкретного мышления и формирования математических понятий состоит в том, что, как отмечает Л.Ш. Левенберг, «рисунки, схемы и чертежи не только помогают учащимся в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают активно мыслить, искать более рациональные пути решения задач, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умением применять их».

Таблица – это тоже модель задачи, но более абстрактная, чем схематический рисунок или чертеж.

Моделирование условия задачи повышенной трудности является одним из эффективных путей решения поиска решения, отражает глубину и полноту анализа связей, данных в задаче и, следовательно. Помогает ученикам успешно решить ее.

 

Обучение моделированию условия задачи включает ряд этапов:

1. Первоначально текст задачи повышенной трудности выписывается на доске и коллективно анализируется. Каждое предложение детей обсуждается и доказывается. В результате чего получается графическое изображение задачи.

2. Использование моделирования условий задач при работе с текстами задач разного вида сначала коллективно, а затем индивидуально.

3. Ознакомление учеников с разными способами моделирование, предоставление право выбора способа.

4. Обучение самостоятельному решения задач на основе выбранного ребенком самостоятельно способа решения.

Примеры комбинаторных задач для 3 этапа:

Сначала учащиеся знакомятся с таблицами:

1. Запиши в нужные клетки таблицы следующие числа: 57, 7, 44, 74, 55, 77, 47. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки?

2. Проверь, правильно ли заполнена таблица?

Второе средство организации перебора при решении комбинаторных задач – графы.

1. В финал турнира по шашкам вышли два российских игрока, два немецкий и два американских. Сколько партий будет в в финале, если каждый играет с каждым по одному разу и представители одной страны между собой не играют?

2. В вазе лежали конфеты четырех сортов. Каждый ребенок взял по две конфеты. И у всех оказались отличающиеся наборы конфет. Сколько могло быть детей?

Ученики, рассуждая, что точки могут изображать людей, предметы, а линии говорят о том, что из них образуются пары, составляют разные варианты задач, например:

Четыре подружки вечером по телефону созваниваются друг с другом. Сколько звонков было сделано, если каждая подружка поговорила с одной по одному разу?

Младших школьников также можно познакомить с применением  граф – схемами для решения комбинаторных задач.

Нарисуй башенки, которые «зашифрованы», для этого пройди по всем возможным путям от верхней точки, до нижних.

Приведем примеры некоторых задач, которые можно решать с помощью таблиц или графов:

1 Запиши все возможные частные, если делимые могут быть числа 12, 9, 8, 16, 15, а делителем – 1, 2, 3, 4.

2. Сколько всего частных можно составить из чисел 2, 3, 4, 6, 12?

3. У девочки есть бумага зеленого и желтого цвета. Из нее она вырезает круги, квадраты и треугольники, делая их большими и маленькими. Сколько разных вариантов у нее получится?

4. На фабрике есть стержни для ручек четырех цветов: красного, синего, зеленого и черного. Сколько различных трехцветных ручек можно при этом собрать?