Функция автокорреляции (АКФ)

Автокорреляционная функция – это частный случай взаимно-корреляционной. Она измеряет степень подобия между временным рядом и его сдвинутой по времени копией как функцию от величины этого сдвига.

 

Свойства АКФ:

- максимум функции в нуле (нулевой сдвиг);

- функция симметрична относительно нуля;

- если функция периодична, то АКФ функции периодична с тем же периодом Т.

АКФ и ВКФ нормируются, т.е. делятся на максимальное значение. Таким образом,

maxАКФ = 1.

 

Свертка в матричном виде

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье выступает в трех общих формах, соответствующих трем классам функций:

1. Непрерывные периодические функции. Такие функции повторяются с некоторым периодом . В этом случае функция представляется как дискретная бесконечная сумма, а коэффициенты Фурье выражаются через интегралы.

2. Непрерывные непериодические функции. В этом случае и функция, и коэффициенты Фурье представляются интегралами.

3. Дискретные периодические и непериодические функции. В этом случае функция и коэффициенты Фурье представляются дискретными суммами.

Основной результат Фурье состоит в следующем. Пусть –периодическая функция времени с периодом . Тогда  можно представить в виде бесконечного тригонометрического ряда.

Свойства преобразования Фурье:

1) Линейность (следует из линейности интеграла):

 

2) Запаздывание:

 

1. Преобразование Фурье для непрерывной периодической функции представляется в виде бесконечной суммы составляющих, а коэффициенты Фурье выражаются через интегралы:

;

Коэффициенты Фурье:

,

,  – номер гармоники.

, не зависят от

,

Преобразование Фурье в комплексном виде

Функция представляется в виде дискретной бесконечной суммы составляющих:

где

2. Если функция непрерывная непериодическая, то и функция, и коэффициенты Фурье представляются интегралами:

-eкоэффициенты и соответствуют стандартно определенной циклической частоте:

и расстояние между соседними суммируемыми частотными компонентами (разница двух гармоник) составляет:

при ,

 

Амплитудный спектр =

Фазовый спектр =  (изменяется в пределах от  )

 

3. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Свойства ДПФ

Периодичность: ДПФ периодично с периодом .

Вещественные временные ряды

Комплексное сопряжение: ,

 

если  действительное.

Таким образом,

, т.е. компонента нулевой частоты (постоянная составляющая) вещественна и, поскольку вследствие периодичности , -я частотная компонента также вещественна.

Из свойств сопряжения и периодичности получаем:

 , т.е. компонента с номером тоже имеет вещественное значение.

Используя вышеприведенные свойства, получаем симметрию спектра:

Каждой компоненте соответствует определенная частота. Компоненте с номером соответствует так называемая частота Найквиста.

, где  - шаг дискретизации

Теорема о свертке:

Пусть  и  – дискретные преобразования Фурье последовательностей  и  соответственно. Тогда:

 ,

Т. е., свертка во временной области эквивалентна умножению соответствующих преобразований Фурье в частотной области.

Теорема о сдвиге:

По определению ДПФ:

для

 

Разбивая сумму на две части, от до и от до , и учитывая равенство

, то получаем  .

Интерполяция на основе преобразования Фурье:

 →преобразование Фурье→ →берем половину спектра→ →

→делаем линейную интерполяцию→ →обратное преобразование Фурье→

Нуль-фазовый сигнал:

В широком классе свойством минимальной длительности обладает сигнал с нулевым фазовым спектром. Такой сигнал симметричен относительно нулевого момента времени и, следовательно, не обладает свойством причинности. В идеальном случае он может продолжаться до бесконечности в обе стороны от нулевого момента времени.

Быстрое преобразование Фурье

Как следует из самого названия, БПФ – это просто изящный способ быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье. Обычный алгоритм ДПФ требует для своего выполнения порядка арифметических операций, тогда как при БПФ их требуется только . При типичной для сейсморазведки значении , равном 4096 отсчетов, БПФ вычисляется в 340 раз быстрее ДПФ.

 

Количество точек во временной последовательности должно равняться степени двойки, для чего на практике последовательность обычно дополняют нулями.

 

z -преобразование

Рассмотрим временную последовательность с постоянным шагом дискретизации:

и построим следующий полином от :

Этот полином и называется -преобразованием.

Свойство -преобразования:

если то

Таким образом, перемножение -преобразований эквивалентно свертке двух исходных последовательностей. Но, согласно теореме о свертке, этой операции эквивалентно и перемножение преобразований Фурье. Следовательно, преобразование Фурье временной последовательности можно рассматривать как частный случай -преобразования, когда