Минимальная, максимальная, смешанная фазы и диполи

Рассмотрим простую временную последовательность из двух членов:

Эту последовательность, которую также можно записать в виде , называют диполем.

Рассмотрим непрерывное преобразование Фурье от этой последовательности:

, где  – циклическая частота

–амплитудный спектр

– фазовый спектр

Выводы:

1)  и  имеют одинаковые амплитудные спектры.

2) Если a , то фазовый спектр  всюду меньше, чем фазовый спектр . По этой причине при диполь  называют минимально-фазовым, а  – максимально-фазовым.

3) Первый временной отсчет  минимально-фазового диполя больше первого отсчета  максимально-фазового.

 

Таким образом,

- если все коэффициенты при четных степенях больше всех коэффициентов при нечетных степенях попарно, то сигнал называют минимально-фазовым;

- если все коэффициенты при нечетных степенях больше всех коэффициентов при четных степенях попарно, то сигнал называют максимально-фазовым;

- если наблюдается различное соотношение коэффициентов при четных и нечетных степенях, то сигнал называют смешанно-фазовым.

Также, если в любой комбинации составляющих диполей поменять порядок элементов, т.е.  заменить на , то общий амплитудный спектр от этого не изменится, в силу линейности преобразования Фурье (хотя фазовый меняется).

Влияние фазы сигнала

Свойства минимально-фазовых сигналов:

1) Реализуемые (импульс определяется как переходная форма волны конечной длины);

2) Причинные;

3) Максимум энергии находится в начале импульса;

4) АКФ сигналов с одинаковыми амплитудными спектрами равны.

Обратная фильтрация

Пусть заданы:

 – трасса

 – импульс источника

 – коэффициенты отражения

Тогда сейсмическая трасса представляет собой свертку импульса источника с коэффициентами отражения:

Задача обратной фильтрации:

Найти такой фильтр , который при свертке с сигналом  дает дельта-функцию . Тогда, в результате свертки этого фильтра с трассой, получаются коэффициенты отражения.

 

Блок-схема обратной фильтрации:

Рассмотрим пример обратной фильтрации для элементарного диполя:

Если , то ряд расходится, тогда задача неустойчива (т.е. при малых изменениях начальных условий сильно меняется результат).

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Метод наименьших квадратов

Когда входной импульс имеет вид, близкий к требуемому, например, , в отличие от , обратная фильтрация дает хорошую аппроксимацию единичного импульса.

Можем ли мы улучшить результат?

При данном входном импульсе найти такой двухэлементный фильтр , чтобы ошибка между действительным и желаемым результатами  была минимальной с точки зрения метода наименьших квадратов. Рассчитаем действительный результат, свернув фильтр с входным импульсом .

Ошибка определяется как сумма квадратов разностей коэффициентов действительного и желаемого результатов:

Задача состоит в том, чтобы найти такие коэффициенты , чтобы принимала минимальное значение. Упростив уравнение, взяв частные производные по и и задав результаты равные , получаем:

Имеется два уравнения и два неизвестных коэффициента фильтра. Так называемую нормальную систему уравнений можно привести в матричную форму:

Сейчас рассчитаем ВКФ желаемого результата  с входным импульсом )

АКФ входного импульса равна:

Таким образом, в общем случае элементы матрицы в левой части – задержки АКФ входного импульса, а элементы матрицы, состоящей из одной колонки в правой части – это задержки ВКФ желаемого результата с входным импульсом.

Эти наблюдения были обобщены Винером для выведения фильтров, которые преобразуют входной сигнал в любой нужный выходной сигнал. Общая форма матричного уравнения для фильтра длины .

Оптимальный фильтр Винера:

Здесь  – ФАК входного импульса, коэффициенты желаемого фильтра и ФВК желаемого результата соответственно. Оптимальный фильтр Винера  является оптимальным в том смысле, что ошибка, определенная по методу наименьших квадратов между действительным и желаемым результатами является минимальной. Когда желаемый результат представляет собой единичный импульс с нулевой задержкой , фильтр Винера идентичен обратному фильтру, действующему по принципу наименьших квадратов. Другими словами, последний является специальным случаем первого. Фильтр Винера применяется для решения большого класса задач, в которых может быть рассмотрен любой желаемый результат, а не только единичный импульс с нулевой задержкой.

Деконволюция

Модель фильтрации зарегистрированной сейсмограммы описывается уравнением:

где  – зарегистрированная сейсмограмма,  – основной сейсмический импульс,  – импульсный отклик разреза,  – случайная помеха, * - обозначение деконволюции.

Деконволюция пытается восстановить последовательность коэффициентов отражения (или импульсный отклик) по зарегистрированной сейсмограмме.

Блок-схема деконволюции:

 – входной импульс

 – желаемый выходной сигнал

 -?

Варианты желаемого результата деконволюции:

1) -импульс (единичный импульс с нулевой задержкой);

2) сдвинутый -импульс (единичный импульс с произвольной задержкой);

3) сдвинутая входная трасса;

4) нуль-фазовый сигнал;

5) любая произвольная форма.

Достижение результатов 1-2 называют деконволюцией сжатия. Результат 3 – итог предсказывающей деконволюции, результат 4 – пиковой деконволюции и результат 5 – формирующей.

Ограничения, лежащие в основе деконволюции:

1) Разрез состоит из горизонтальных слоев с постоянной скоростью;

2) Источник формирует плоскую продольную волну, которая вертикально падает на границы слоев. При таких условиях поперечные волны не формируются;

3) Форма волны источника не меняется при прохождении по разрезу, т.е. она является стационарной;

4) Компонента помех равна 0;

5) Сейсмический импульс является минимально-фазовым;

6) Коэффициенты отражения являются случайным процессом.

 

Деконволюция сжатия

Процесс с единичным импульсом с единичной задержкой называется деконволюцией сжатия. Взаимная корреляция желаемого единичного импульса со входным импульсом (  дает последовательность (

Деконволюция сжатия с математической точки зрения идентична обратной фильтрации по методу наименьших квадратов. В идеальном случае мы хотим получить одиночный импульс с нулевой задержкой, но, обычно, входной импульс – смешанно-фазовый сигнал. Если входной импульс не является минимально-фазовым, деконволюция сжатия не может преобразовать его в совершенный единичный импульс с нулевой задержкой. Хотя амплитудный спектр, в сущности, плоский, фазовый спектр результата не является минимально-фазовым. Оператор деконволюции сжатия представляет собой результат обращения минимально-фазового эквивалента входного импульса. Этот импульс может быть минимально-фазовым, но может и не быть таковым.

 

Предварительное отбеливание

Деконволюция отфильтрованного импульса не дает совершенный единичный импульс. Вместо этого получается единичный шаг-импульс, сопровождаемый высокими частотами. Такой низкочастотный результат обусловлен тем, что оператор деконволюции пытается усилить отсутствующие частоты. Может ли эта проблема быть связана с зарегистрированной сейсмограммой? Ситуация, когда амплитудный спектр входного сигнала содержит нули, встречается редко. В сейсмограмме всегда содержатся помехи и они являются аддитивными во временной и в частотной областях. Более того, в процессе обработки формируются цифровые помехи, также являющиеся аддитивными в частотной области. Однако, для того, чтобы гарантировать цифровую устойчивость, перед деконволюцией вводится искусственный уровень белого шума. Этот процесс называется предварительным отбеливанием. Оно достигается путем прибавления константы к нулевой задержке функции автокорреляции.