Основные законы распределения дискретных случайных величин

Биномиальное распределение (распределение Бернулли)

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в   n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна  р. Вероятность возможного значения X = k  (числа k появлений события А) вычисляется по формуле Бернулли

 

                           P _n (k) = p _k = P (X = k) = p^k (1 – p) ^{n – k}  .

Закон распределения  для рассматриваемой случайной величины Х имеет вид:

 

X	0	1	2	…	n – 1	n
P	p 0	p 1	p 2	…	p n – 1	p n

или

 

X	0	1	2	…	n – 1	n
P	(1 – p) n	np (1 – p) n – 1	p 2 (1 – p) n – 2	…	np n – 1 (1 – p)	p n

 

Математическое ожидание       M (X)= = p^m (1 – p) ^{n – m} = np  .

      

Дисперсия    D (X) = npq   .

       Каждую случайную величину Х, имеющую биномиальное распределение с параметрами n и p, можно представить в виде суммы   n независимых случайных величин, имеющих биномиальное распределение с параметрами n = 1 и p.

 

Пример 16. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равно р = 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, найти мат.ожидание и дисперсию данной случайной величины.

 

                Случайная величина Х (числа отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие возможные

значения: х ₀ = 0(ни один из элементов не отказал), х ₁ = 1(отказал один элемент), х ₂ = 2(отказали два

 элемента), х ₃ = 3(отказали три элемента). Отказы элементов независимы друг от друга,

вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли.

Учитывая, что, по условию, n = 3, p = 0,1 (q = 0,9),   получим: Р ₃(0) = р ₀ = q ³ = 0,9³ = 0,729,  

Р ₃(1) = р ₁= pq ² = 3×0,1×0,9² = 0,243, Р ₃(2) = р ₂= p ² q  = 3×0,1²×0,9 = 0,027, Р ₃(3) = р ₃= p ³ = 0,1³ = 0,001.  

  (Проверка: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1).

 

 

Закон распределения:	X	0	1	2	3
	P	0,729	0,243	0,027	0,001

     Мат.ожидание числа отказавших элементов в одном опыте M (X) = np = 3 × 0,1 = 0,3

(проверка: 0 × 0,729 + 1 × 0,243 + 2 × 0,027 + 3 × 0,001 = 0,3). Дисперсия – npq =  3 × 0,1 × 0,9 = 0,27.

Распределение Пуассона

Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностями

 

                           p _k (λ) = P (X = k) = e ^–λ    , k = 0, 1, …,  λ > 0,

 

называется распределенной позакону Пуассона с параметром λ.  В отличие от биномиального распределения, здесь случайная величина уже может принимать бесконечное число значений. Такое распределение получается в схеме Бернулли при большом числе испытаний n и малых значениях вероятности р появления события в каждом испытании (обычно достаточно выполнение условий: p < 0,1, npq < 10). 

 

Закон распределения  для рассматриваемой случайной величины Х имеет вид:

 

X	0	1	2	…	n	…
P	е –λ	λе –λ	е –λ	…	е –λ	…

Математическое ожидание       M (X)= е ^–λ = λ  .

Дисперсия       D (X)= λ  .

       Если независимые случайные величины Х и Y имеют распределение Пуассона с параметрами λ  и μ, то их сумма Х + Y имеет распределение Пуассона с параметром λ + μ:

 

P (X + Y) = k) = e ^{– ( λ + μ )}

       В вычислениях по формуле Бернулли при малых вероятностях р лучше пользоваться не приближенной формулой Лапласа (P _n (k) = P _{k , n} = φ (x),  где х =  ), а

 

приближенной формулой Пуассона при λ = np:    P _n (k) = p _{k , n} = e ^{– np}  .

 

            Пример 17. Для случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, вычислить Р (Х = m), 

       математическое ожидание и дисперсию, если λ = 0,3, m = 2.

 

           P (X = 2) = е ^–λ = е ^{– 0,3}, M (X) = λ = 0,3,    D (X) = λ = 0,3.   

 

Пример 18. Проведены n независимых испытаний по схеме Бернулли. В каждом испытании может произойти событие А с вероятностью р. Подсчитать по формуле Пуассона вероятность того, что при этом событии А произошло m   раз, если n = 1000,    р = 0,002, m = 10.

 

                                         

P ₁₀₀₀(10)≈ P (X = 10) = е ^{– n p} =  е ^{– 2}   = е ^{– 2}.