Свойства плотности вероятностей

 

1. Плотность вероятностей f (x) определена на всей числовой оси, т.е. для

всех –¥ < x < –¥.

 

2. Плотность вероятностей неотрицательна, т.е. f (x) ≥ 0.

3. Если   f (x) – плотность вероятностейслучайной величины Х, то       = 1.

 

        

Пример 2. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность вероятностей f (x).

 

                          f (x) = F ' (x) =

        

Пример 3. Случайная величина Х задана плотностью распределения .

Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (π /6, π /4).

 

           Т.к. границы интервала лежат в интервале 0< х ≤ , то P ( < X < ) = = .

        

Пример 4. Случайная величина Х задана плотностью распределения .

Найти функцию распределения вероятностей F (x).

           Т.к. F (x) = , то:

           если х ≤  0: F (x) =  = 0.

           если 0 ≤ х < : F (x) =  +  = 0 + sin t |  = sin x.       =>   

           если х > : F (x) =  +  +  =  0 + sin t |  + 0 = 1.

 

  5.3.  Числовые характеристики непрерывных случайных величин

 

Математическим ожиданием непрерывной случайной величиныХ, имеющей плотность распределения вероятностей f (x) называют число  

 

                                       M (X) = M _X =  ,

а его дисперсией – число    D (X) = D _X = M [ X – M (X)] ²  .

Дисперсию можно вычислять также по формулам:

 

       D (X) =  ,     D (X) =  - [ M (X)] ².     

  Среднее квадратическое отклонение (СКО) непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной случайной величины:

 

                                           σ (Х) = .

 

       Все основные свойства для математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины сохраняются и для непрерывного случая:

1.   M (aX + b) = aM (X) + b,                M (aX) = aM (X),   M (b) = b;

2.   M (X + Y) = M (X) + M (Y);

3.   D (aX + b) = a ² D (X),                D (aX) = a ² D (X),   D (b) = 0;

4. D (X) = M (X ²) – [ M (X)] ².

 

Для независимых случайных величин X и Y:

5.   M (XY) = M (X) × M (Y);

6.   D (X + Y) = D (X) + D (Y).

 

Две случайные величины X   и Y  называются независимыми, если для любой пары промежутков А и В независимы события (X A) и (Y B), т.е. 

 

                        P ((X A)   (Y B)) = P (X A) × P (Y B).   

       Если Y = φ (Х) – функция случайного аргумента Х (сама случайная величина),то ее

мат.ожидание              M (Y) = M (φ (X)) = M _{φ (Х)} = ,

дисперсия     –         D (Y = φ (X)) = D _{φ (Х)} = M [ Y – M (Y)] ²  .

Дисперсию можно вычислять также по формулам:

 

D (φ (X)) = D _{φ (Х)} =  ,     D (φ (X)) =  - [ M (φ (X))] ².     

 

       Если F (x) – функцияраспределения случайной величины Х,а f (x) – ее плотность вероятностей, то для случайной величины Y = aX + b  плотность вероятностей есть

f ₁(x) = ,    а функцияраспределения F ₁(x) = .

       • a > 0:  

F ₁(x) = P (aX + b < x) = P = F .

f ₁(x) = F ' ₁(x) = = F '  =   f .

         a < 0:  

F ₁(x) = P (aX + b < x) = P = 1 – P = 1 – F .

f ₁(x) = F ' ₁(x) = = – F '  =   f .

 

       Если кривая плотности вероятностей симметрична относительно прямой х = С, то М (Х) = С  (рис.17).

           Модой М ₀(Х) непрерывной случайной величины Х называют ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности вероятностей (рис.18). Если распределение имеет два одинаковых максимума, то его называют бимодальным.

 

       Медианой М _е (Х) непрерывной случайной величины Х называют то ее возможное значение, которое определяется равенством P [ X < М _е (Х)] = P [ X > М _е (Х)]. Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината   f (x) х = М _е (Х) делит пополам площадь, ограниченную кривой плотности распределения (рис.19).

 

 

     Рис.17. М (Х) = С.                             Рис.18. М ₀(Х) = С.         Рис.19. (S ₁ = S ₂ = 0,5). М _е (Х) = С.   

      

Начальный теоретический момент порядка k –     ν _k = М (Х ^k ) – непрерывной

 

случайной величины Х определяется равенством              ν _k  =  .

  

в частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:   ν ₁ = М (Х ).

       Центральный теоретический момент порядка k –     μ _k = М ([ X – М (Х ) ] ^k ) –  

 

непрерывной случайной величины Х равен:            μ _k  =  .

 

в частности, центральный момент первого порядка равен нулю:  

 

μ ₁ = М ([ X – М (Х ) ] ) = М (Х ) – М (Х ) = 0,

 

центральный момент второго порядка равен дисперсии:  

 

μ ₂ = М ([ X – М (Х ) ]²) = D (Х ).

 

       Центральные моменты непрерывной случайной величины так же, как и дискретной, целесообразно вычислять, используя формулы, выражающие центральные моменты через начальные:

 

μ ₂ = ν ₂– ν ₁ ², μ ₃ = ν ₃–3 ν ₁ ν ₂ + 2 ν ₁ ³, μ ₄ = ν ₄–4 ν ₁ ν ₃ +6 ν ₁ ² ν ₂ – 3 ν ₁ ⁴.

       3 -й центральный момент  μ ₃   характеризует ассиметрию распределения. Для непрерывной случайной величины, имеющей симметричную плотность распределения, μ ₃ = 0.

Величину   α ₃ =     называют ассиметрией. Она позволяет сравнить ассиметрию двух распределений, имеющих различный масштаб.

       4 -й центральный момент  μ ₄   характеризует островершинность распределения. Величину  α ₄ =     называют эксцессом. Чем больше α ₄ , тем вершина функции плотности распределения вероятностей острее.

 

          Пример 5. Случайная величина Х задана плотностью распределения .

Найти: h, M (X), D (X), P (1 < X < 5), F (x).

Из св-ва 3 плотности распределения имеем: 1 =  = + + = = hx | =5 h. Следовательно, h = 0,2.

M (X) =   = 0,2 =0,1 x ²|  = 0,5.

D (X) =   = 0,2 = (x – 0,5) ³|  = ≈2,1.

P (1 < X < 5) =   =  + = 0,2 x | = 0,4.      Т.к. F (x) = , то

           если х ≤  –2: F (x) =  = 0.

           если –2 < х < 3: F (x) = +  = 0 + 0,2 × t |  =  0,2 (x + 2). 

           если х ≥ 3: F (x) =  +  +  =  0 + 0,2 x |  + 0 = 1.

           Т.о.,        => .

Графики плотности вероятностей и функции распределения представлены на рис. 20.

 

                                                                         Рис.20.

         Пример 6. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти   M (X) и D (X).

 

       f (x) = F ' (x) =

M (X) =   = 0,25 =   x ²|  = 0. Результат очевиден, т.к. плотность вероятностей симметрична.               D (X) =   = 0,25 =   x ³|  = .

 

          Пример 7. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти: D (X ²), не находя предварительно плотность распределения случайной величины Y = X ².

      M (φ (X)) = , D (φ (X)) = – [ M (φ (X))]².     Имеем:

φ (х) = х ², M (X ²) =   = || дважды интегрируем по частям || = .   

D (X ²) =  – = || четырежды интегрируем по частям || = .       

 

          Пример 8. Случайная величина Х задана плотностью распределения  

(рис. 21).

Найти моду и медиану случайной величины X.

 

В открытом интервале (0, π /4) функция f (x) = 2cos2 x  не имеет

 максимума, поэтому Х моду не имеет.

P (0 < X < m _e)= => 2   = sin2 m _e =   =>                                        Рис.21.

=> 2 m _e = arcsin   =       => m _e = .