Для любого положительного числа а и случайной величины Х  справедливо неравенство

                              P (| X – M (X) | ≥ a) <    .

 

Пример 2. Пусть случайная величина Х имеет дисперсию D (X) = 0,001. Какова вероятность того, что

она отличается от М (Х) более чем на 0,1?

     Согласно неравенству Чебышёва: P (| X – M (X) | ≥ 0,1) < = = 0,1.

 

Пример 3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения 

   

Х	0,3	0,6
Р	0,2	0,8

 

Используя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что   | X – M (X) | < 0,2.

 

   М (Х) = 0,3 × 0,2 + 0,6 × 0,8 = 0,54.

  

	Х 2	0,09	0,36	M (X 2) = 0,09 × 0,2 + 0,36 × 0,8 = 0,306.
	Р	0,2	0,8

 

D (Х) = M (X ²) – [ М (Х)]² = 0,3024 – 0,54² = 0,306 – 0,2916 =  0,0144.

 

Воспользуемся неравенством Чебышёва в форме P (| X – M (X) | < ε) ≥ 1 – :

P (| X – 0,54 | < 0,2) ≥ 1 –  = 0,64.

 

    6.1.2. Закон больших чисел в форме Чебышёва (теорема Чебышёва)

Если случайные величины Х ₁, Х ₂, …, Х _n, …   попарно независимы и их дисперсии ограничены, D (Х _n) ≤ C n, то ε > 0  справедливо:

 

                   P  = 0  .

 

       Здесь утверждается, что с ростом количества случайных величин их среднее арифметическое сколь угодно мало отличается от детерминированного, неслучайного воздействия, обусловленного средним арифметическим математических ожиданий.

Пример 4. Последовательность независимых случайных величин Х ₁, Х ₂, …, Х _n, …   задана законом распределения 

Х n	– na	0	na
Р		1 –

 

Применима ли к данной последовательности теорема Чебышёва?

Для того чтобы к последовательности случайных величин была применима теорема Чебышева, достаточно, чтобы эти величины были попарно независимы и имели бы ограниченные дисперсии.

Т.к. случайные величины независимы, то они подавно и попарно независимы.

Для нахождения дисперсий найдем сначала мат.ожидание М (Х _n):

М (Х _n) = – na ×  + 0 × + na ×  = 0.

Далее построим законы распределения случайных величин :

 

	n 2 a 2	0	n 2 a 2
Р		1 –

М () = n ² a ² ×  + 0 × + n ² a ² ×  = a ².

D (Х _n) = М () – [ М (Х _n)]² = a ² – 0² = a ².    Т. о., D (Х _n) ≤ a ² n.

Все условия теоремы Чебышева выполнены и, следовательно, в данном случае она применима.

Пример 5. Вероятность появления события A в каждом из 400 проведенных испытаний равна 0,7. Найти  с использованием неравенства Чебышева вероятность того, что число X появлений события A будет заключено в пределах от 260 до 300.

Воспользуемся неравенством Чебышева вида P (| X – M (X) | < ε) ≥ 1 – .  Вычислив M (X)= np =400 · 0,7=280, D (X) = npq = 400 · 0,7 · 0,3 = 84, получаем P (260 < X < 300) = P (| X – 280 | < 20) ≥ 1 – =0,79.  

   Пример 6. Математическое ожидание случайной величины X равно M (X) = 95, а дисперсия – D (X) = 9. Найти  с использованием неравенства Чебышева вероятность того, что 90 < X < 100

  P (| X – M (X) | < ε) ≥ 1 –    =>  Тогда P (90 < X < 100)= P (| X – 95| < 5) ≥ 1 – =0,64.  

В приложениях важную роль играет частный случай приведенной выше теоремы,

относящийся к одинаково распределенным независимым слагаемым:

Пусть Х ₁, Х ₂, …, Х _n, … – одинаково распределенные случайные величины с

M (Х _n) = m n. Тогда   

                   P  = 0  .

       Другим важным следствием теоремы Чебышева      является теорема Я.Бернулли.      

 

    6.1.3. Закон больших чисел в форме Бернулли (теорема Бернулли)

       Пусть S _n – число успехов в серии изn независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха р в каждом испытании и ν _n = – относительная частота числа успехов. Тогда с увеличением количества экспериментов n частота ν _n   будет мало отличаться от вероятности р. Точнее, P (| ν _n – p | ≥ ε) = 0  .

Предельные теоремы

Предельные теоремы дают представление о законе распределения суммы большого

числа случайных величин.

 

       Центральная предельная теорема (ЦПТ). Если последовательность попарно

 независимых    случайных величин Х ₁, Х ₂, …, Х _n, …   удовлетворяет условию

                                         = 0,                                    (1)

то                                Р = Ф (b) – Ф (a).           (2)

 

       Здесь Ф (х) =  –   функция Лапласа.

 

       Условие (1) дано А.М. Ляпуновым. Поэтому приведенная теорема называется центральной предельной теоремой в форме Ляпунова. Есть и другие формулировки центральной предельной теоремы. Отличаются они тем, что условие (1) в них заменено другим, имеющим тот же смысл. Смысл условия (1), и других аналогичных условий, состоит в следующем: в сумме   ни одно из слагаемых не доминирует, т.е. вклад в сумму каждогослагаемого не подавляет вклада остальных слагаемых.  

 

       Смысл равенства (2) в том, что при больших n   случайная величина

                                           Y =                                                     (3)

распределена по нормальному закону с нулевым (M (Y) = 0) математическим ожиданием и единичной   (D (Y) = 1) дисперсией. Эту случайную величину называют нормированной.