Дифференцирование явной функции

производные высших порядков

 

       Рассмотрим функцию , заданную явно и имеющую конечную производную  в любой точке  промежутка . Если функция  имеет производную (конечную или бесконечную) в каждой точке , то эту производную называют производной 2-го порядка (второй производной)  функции     и обозначают

       Если в свою очередь функция  имеет производную , то ее производная называется производной 3-го порядка (третьей производной):   Аналогично берутся производные более высоких порядков.

       Если в каждой точке промежутка   существует конечная производная (п− 1)-го порядка , то производная n-го порядка по определению равна производной от производной -го порядка:

                                                                                          (3.13)

Порядок производной − число п  − определяет число операций дифференцирования, которому подвергается функция. Поэтому естественно за производную нулевого порядка принять саму функцию: . Таким образом, допустимы следующие значения числа п: 0; 1; 2;…; k;… Производные, порядки которых больше единицы (), называют производными высших порядков.

       Для производной n -го порядка в произвольной точке   используют следующие обозначения:  Круглые скобки в знаменателе обычно не пишут. Если порядок производной − конкретное число, то его обозначают штрихами (для производных до третьего порядка включительно), а также записывают римской цифрой без скобок или арабской в скобках:

       Если производная п -го порядка функции в точке  существует, то ее значение − число (собственное (конечное) или несобственное ), которое обозначается одним из следующих способов:  

       Если производная п-го порядка конечна в точке , то в некоторой ее окрестности определены и непрерывны и сама функция , и все ее производные до -го порядка включительно. Это утверждение можно доказать, опираясь на теорему 3.2.

       В граничных точках отрезка производные высших порядков по аналогии с первой производной определяются через значения односторонних производных таких же порядков.

       Заметим, что у линейной функции  первая производная  равна постоянной, а все последующие производные равны нулю:  (. У квадратичной функции  первая производная  является линейной функцией, вторая производная  − постоянной, а все последующие производные, начиная с третьей производной, равны нулю. Обобщая наблюдения, можно доказать, что все производные многочлена п -й степени , начиная с производной -го порядка, тождественно равны нулю:

 

Механический смысл второй производной

 

Пусть  − время, − путь, пройденный материальной точкой при прямолинейном движении за время . В разделе 3.1.2 ускорение движения  было определено как скорость изменения скорости движения и описано формулой Так как , то ускорение равно второй производной пути по времени:  

Ускорение является важной характеристикой движения. Если ускорение равно нулю на некотором временном промежутке, то движение − равномерное. Если ускорение является положительной фиксированной величиной на временном промежутке, то движение − равноускоренное; если ускорение − отрицательная фиксированная величина, то движение − равнозамедленное.

            Вернемся к  примеру 3.5, в котором путь, пройденный материальной точкой по прямой за время t, описывался формулой . Ускорение движения  Первая производная пути по времени равна  вторая производная  Значит, на всем пути ускорение постоянно: . Так как , то движение − равноускоренное.

 

Дифференциалы высших порядков

 

       Продолжим изучение функции , имеющей конечные производные до п- го порядка включительно в каждой точке промежутка  По теореме 3.3 эта функция дифференцируема на  и ее дифференциал вычисляется по формуле . Назовем его первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка. В частности, в точке  первый дифференциал равен .

       Дифференциалом 2-го порядка(вторым дифференциалом) функции  в точке  называется дифференциал первого дифференциала, который равен: . Вычислим второй дифференциал в точке , полагая что  −

независимая переменная (  рассматриваем как постоянный множитель): . Отсюда имеем: .

       Если  − произвольная точка промежутка  то  или  Тогда . Получено соотношение, которое использовали для обозначения второй производной.

       Дифференциалом 3-го порядка(третьим дифференциалом) функции  в точке  называется дифференциал второго дифференциала, который равен . Если  − независимая переменная, то .

       Продолжим процедуру дифференцирования функции. Дифференциал дифференциала ( −1)-го порядка функции в точке  называют дифференциалом п-го порядка и обозначают  Отсюда, обобщая формулы для дифференциалов 2-го и 3-го, получим связь между производной и дифференциалом п- го порядка: . Эту формулу для дифференциала п- го порядка можно компактно записать в виде    

                                                                                                                   (3.14)

 Отсюда                                                          

                                                                                                                          (3.15)

       Таким образом, выражение  является не только обозначением производной п- го порядка, но и в случае независимой переменной х формулой для нахождения п- й производной как частного п- го дифференциала и п- й степени дифференциала :  Можно доказать, что дифференциалы высших порядков  в общем случае не обладают инвариантным свойством в отличие от дифференциалов 1-го порядка.

       Функцию, имеющую дифференциалы до -го порядка включительно в точке , называют  раз дифференцируемой в этой точке. Функцию,  раз дифференцируемую в каждой точке промежутка, называют  раз дифференцируемой на этом промежутке.

       Пример 3.17. Найти третью производную  и третий дифференциал  функции и вычислить их в точке

       □ Сначала найдем все производные до третьего порядка включительно:

Потом по формуле (3.14) при  получим: .

       Подставляя  в выражения для  и , имеем:  В точке  третья производная равна числу, а третий дифференциал является степенной функцией дифференциала . ■

       Пример 3.18. Вывести формулу для производной п- го порядка функции .

       □ Выполним последовательное дифференцирование функции при :       ;

       ;

      

      

         

В результате получим ,  ■