Приближенные вычисления значений функции

       В практических задачах часто возникает необходимость вычисления приближенного значения функции  в некоторой точке   Абсолютной погрешностью  называют абсолютную величину разности между точным и приближенным значением функции в точке  Величина погрешности определяет точность вычислений: чем меньше погрешность, тем точнее вычислено значение функции. Рассмотрим некоторые алгоритмы, которые позволяют найти приближенное значении функции, и сопоставим их.

Использование первого дифференциала

       При вычислении приближенного значения дифференцируемой функции применима формула (3.4):   которой можно придать вид:

                                                               (3. 26)

Эта формула проста в применении, но обладает существенным недостатком − нельзя заранее оценить погрешность вычислений.

Использование формулы конечных приращений

       Формула конечных приращений (3.21)  может быть переписана в виде:

                             где                          (3.27)

При малых приращениях аргумента  полагают при этом абсолютная погрешность

Использование  формулы  Тейлора

      При помощи формулы Тейлора -го порядка (3.24) вычисление приближенного значения функции  сводится к вычислению значения многочлена Тейлора -й степени в точке , при этом абсолютная погрешность  С увеличением порядка формулы Тейлора погрешность уменьшается.

      Если использовать обозначение  то формула для вычисления приближенного значения примет вид:

                                                                                             (3.28) 

где    абсолютная погрешность

       Пример 3.24. Вычислить приближенное значение , используя: 1) первый дифференциал; 2) формулу конечных приращений; 3) формулу Тейлора 2-го порядка и сопоставить результаты.

□ Введем функцию  Эта функция определена, непрерывна и дифференцируема произвольное число раз при   

       1) При применении формулы (3.26) положим  Производная  Тогда  По формуле (3.26) получим;

       2) Применяя формулу (3.27), имеем  При этом абсолютная погрешность удовлетворяет оценке:  при Отсюда следует, что

       3) Для применения формулы Тейлора 2-го порядка вычислим вторую и третью производную функции  Тогда  Согласно формуле (3.28) имеем: или  При искомая величина вычисляется по приближенной формуле: .

       Теперь оценим погрешность :

Итак,

       Последовательно применяя разные формулы для подсчета приближенного значения , мы получили три числа: . Последний результат − самый точный, так как погрешность меньше, чем ■

      Пример 3.25. Найти приближенное значение с абсолютной погрешностью, не превосходящей  

□ Воспользуемся формулой Маклорена го порядка для функции

Выберем порядок формулы таким образом, чтобы остаточный член формулы Тейлора не превышал заданной погрешности:  Выполним оценки: при  Подберем такое наименьшее натуральное число , чтобы выполнялось неравенство:  Заметим, что при При   Произведем подсчет искомой величины  по формуле Маклорена 6-го порядка при :

 С точностью до ■