Составление уравнений касательной и нормали к кривой

 

Кривая,  заданная явным уравнением

Уравнение касательной, проведенной к графику  функции  в точке , в которой функция  дифференцируема, имеет вид:  где  Таким образом,                                   (3.29)

Прямая, проведенная через точку  перпендикулярно к касательной, называется нормалью (см. рис. 3.9).  Её уравнение при  имеет вид:

                                                                                       (3.30)

Здесь учтено, что у взаимно перпендикулярных наклонных прямых произведение угловых коэффициентов равно числу −1.

Часто вместо  пишут  вместо  − . Касательная и нормаль определены и в точках с бесконечной производной, где .

В зависимости от значения  выделяют три случая.

       1. Если , то касательная и нормаль − наклонные прямые, описываемые уравнениями:                                         

касательная:                                                   (3.31)

                                    нормаль:                                      (3.32)

2. Если то касательная – горизонтальная прямая (горизонталь) , нормаль – вертикальная прямая  (вертикаль) .

3. Если то касательная – вертикаль , нормаль – горизонталь .

Чтобы составить уравнения касательной и нормали к графику функции  в точке   нужно определить три числа:  и подставить их значения в уравнения искомых линий, при этом целесообразно все данные собрать в таблице 3.3.

                                                                                Табл. 3.3                                                                       

                                                                                                                                                                     

 

                                                               

Пример 3.26. Написать уравнения касательной и нормали к кривой, заданной уравнением  в точке, где а) ; б) .

□ Найдем производную: .

а) Вычислим  и  Заполним таблицу.

1	0	1

 

Так как производная в точке  отлична от нуля, то имеет место 1-й случай. По формулам (3.31), (3.32) уравнение касательной:  уравнение нормали:

б) Вычислим  и  Заполним таблицу.

	−	0

 

Так как производная в точке  равна нулю, то имеет место 2-й случай. Касательная − горизонтальная прямая:  нормаль − вертикальная прямая: ■

Пример 3.27. Написать уравнения касательной и нормали к кривой,  заданной уравнением  в точке, где а) б)

5	2	0,25

□ В отличие от предыдущей задачи в этой задаче заданы ординаты точек касания.

а) Чтобы заполнить таблицу, сначала нужно найти  Составим уравнение:  Его решением является число  Потом находим  

Соответствующая таблица имеет вид:

 

Применяем формулы (3.31) и (3.32), так как .

Касательная:

Нормаль:

б)  Точка является граничной точкой области определения. В этой точке существует бесконечная правосторонняя производная:  Следовательно, мы имеем дело с третьим случаем. Через точку проходят вертикальная касательная  и нормаль совпадающая с осью абсцисс.

Кривая,  заданная  параметрическими  уравнениями

 

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , точка  принадлежит графику Г функции. По аналогии с кривой, заданной явно, рассмотрим три случая. Вычисление  осуществим по формуле параметрического дифференцирования.

1. Если , то касательная и нормаль являются наклонными прямыми и их уравнения имеют вид:

                                                         ,                                           (3.31)

                                                                ,                                          (3.32)

где                                                                               (3.33)

2. Если , то касательная и нормаль являются горизонталью и вертикалью, соответственно, и их уравнения имеют вид:

касательная: ,                                            

                                                          нормаль:       .

3. Если , то касательная и нормаль являются вертикалью и горизонталью, соответственно, и их уравнения имеют вид:

касательная: ,

нормаль: .                                            

  Пример 3.28. Написать уравнения касательной и нормали к кривой,  заданной уравнениями  в точке, где а) б) в)

□ Заметим, что кривая, заданная уравнениями  является окружностью единичного радиуса с центром, смещенным на единицу относительно точки О по оси абсцисс (см. рис. 3.10). Для обоснования утверждения достаточно уединить тригонометрические функции, возвести каждое уравнение в квадрат, после чего сложить их:

Последнее уравнение − уравнение окружности с центром в точке (1;0) и радиусом, равным 1. Исходные уравнения можно интерпретировать как закон перемещения материальной точки в плоскости  Производная, вычисленная в примере 3.16,  равна угловому коэффициенту касательной к траектории движения − окружности в произвольный момент времени

а) Вычислим значения

,  Производная  отлична от нуля, значит, имеет место первый случай.

Заполним таблицу 3.3.

 

		−1

 

 

Подставляем найденные значения в уравнения (3.30) и (3.31) и получаем

касательную:                    

нормаль:    ,

проходящие через точку .        

б) В задании указана только ордината точки касания. Чтобы найти все элементы уравнений касательной и нормали, решим тригонометрическое уравнение  Отсюда Так как производная  равна нулю, то имеет место второй случай. Касательная − горизонтальная прямая  нормаль − вертикальная прямая, проходящие через точку

в) В задании указана только абсцисса точки касания. По аналогии с пунктом б) решим уравнение:  При этом значении  не определен, но существует Имеет место третий случай. Отсюда следует, что через точку С (2; 0) проходит вертикальная касательная , а нормалью является горизонтальная прямая  − ось абсцисс.

Полученные результаты имеют наглядный геометрический смысл. В пункте б) задания нужно было получить уравнения касательной и нормали в крайней нижней точке В заданной окружности с координатами (1; −1). Очевидно, что касательная и нормаль − это соответственно горизонтальная и вертикальная прямые, проходящие через точку (1; −1).

В пункте в) нужно было получить касательную и нормаль в крайней правой точке С заданной окружности с координатами (2;0). Очевидно, что касательной является вертикальная прямая, проходящая через точку (2;0), а нормалью − ось абсцисс.■

 

Угол  между  кривыми

 

Пусть  − уравнения линий в плоскости   Углом  между этими линиями в точке их пересечения называют угол между касательными, проведенными к графикам функций в точке . 

Если функции  дифференцируемы в точке , то угол   можно найти из тригонометрического уравнения:

                                                    .                                    (3.34)

 

Пример 3.29. Найти угол между  кривыми,  заданными уравнениями ,  в точке их пересечения.

□ 1. Найдем точку пересечения графиков из системы:  Уравнение  имеет единственное решение  Тогда  Точка пересечения графиков имеет координаты .

2. Найдем производные функций:

3. Вычислим значения производных в точке, где

4. Составим и решим уравнение относительно угла :

■

 

Правило Лопиталя-Бернулли

                                                                      

  Теорема 3.13 (правило Лопиталя-Бернулли) .Если выполняются следующие условия:

    1) функции и  определены и дифференцируемы в проколотой  окрестности точки ;

  2) ;

  3)  в рассматриваемой окрестности;

    4) существует предел ,

то  

                                                                                         (3.35)

З а м е ч а н и е 1. Это правило применимо для раскрытия неопределенностей вида :

● в конечной точке при ,

● на бесконечности при ;

● при вычислении односторонних пределов (при  и .

З а м е ч а н и е 2. Аналогичное правило применимо для раскрытия неопределенностей вида , при этом в условиях теоремы 3.13 нужно изменить только второе условие и потребовать, чтобы  Все пункты замечания 1 и в этом случае верны.

       Теорему 3.13 для раскрытия неопределенности  часто называют первым правилом Лопиталя, а аналогичную теорему для неопределенности вида − вторым правилом Лопиталя.

       Пример 3.30. Найти пределы: а) ; б) ; в) .

       □ В каждом примере при подстановке предельного значения аргумента получается неопределенное выражение, которое раскрывается путем однократного или многократного непосредственного применения правила Лопиталя. 

а) .

б)

.

в) .■

     

Пример 3.31.  Найти

□ При  числитель и знаменатель дроби неограниченно растут. Вычисление предела связано с раскрытием неопределенности вида . Однако воспользоваться правилом Лопиталя нельзя, так как не существует предела  отношения производных: = . Как известно, функция  на бесконечности не имеет предела и вместе с ней нет предела у функции

Предел можно найти другим способом: , так как предел второго слагаемого как предел произведения ограниченной функции () и бесконечно малой при  функции  равен нулю, а предел всей суммы − единице. ■

       Для раскрытия неопределенностей вида  правила Лопиталя применяют непосредственно. Для раскрытия неопределенностей вида ,  правила Лопиталя применяют опосредованно:

1) в случае неопределенности вида  произведение функций преобразуют в частное одним из двух способов: ;

       2) в случае неопределенности вида  разность функций преобразуют в

частное, используя свойства функций или следующий общий прием:

 при , или , причем

● если предел  существует и отличен от единицы: , то ;    

● если предел , то  и далее непосредственно применяют правило Лопиталя-Бернулли;

       3) в случае неопределенностей вида  используют основное свойство логарифма  и неопределенность  в показателе степени раскрывают при помощи вышеописанных приемов.

       Пример 3.32. Найти .

       □ Выясним, есть ли неопределенность при вычислении предела: . Как видим, мы имеем дело с 1-ым случаем опосредованного применения правила Лопиталя. Преобразовываем произведение в частное и применяем 1-ое правило Лопиталя: ■

Найдем .

Тогда .

Пример 3.33. Найти .

       □ Здесь неопределенность вида . Используем общий прием преобразования разности в частное: .

       Найдем .

Тогда .

Заметим, что другой способ преобразования разности в произведение, а именно, вынесение  вместо  вперед в качестве множителя приведет к тому же результату. ■

       Пример 3.34. Найти

□ ■

             

Задачи для самостоятельного решения

 

1. Используя формулу Маклорена порядка, найдите приближенное значение  и оцените абсолютную погрешность, если:

 1) ; 2) . 

Ответы: 1)0,3 и  2)

2. Найдите приближенное значение и оцените абсолютные погрешности:

 1) при помощи первого дифференциала; 2) при помощи формулы конечных приращений;

3) при помощи формулы Тейлора 2-го порядка.

 Ответы: 1)1,041(6); 2) 3)  

3. Составьте уравнения касательной и нормали к графику заданной функции в заданной точке :

1)  2) 3)

4)  5)  6) .

Ответы: 1) , ; 2) , ; 3) , ;

4) , ; 5) , ; 6) , .

4. Составьте уравнения касательной и нормали к графику  в точке, где  1) 2) 3) 4)

Ответы (уравнения касательной и нормали): 1)  

2) ; 3)  4) .

5. Найдите углы между графиками функций  в точке их пересечения:

1) ; 2)

Ответы: 1) 2)

 

6. Укажите вид неопределенности и найдите пределы ()

1) ;        2) ;   3) ;          4) ;

5) ;     6) ; 7) ; 8) ;     9) ;

10) ;   11) ; 12) 13)

 14) ; 15) .

Ответы: 1) , 0; 2) 3) ,0; 4) , ; 5) , ; 6) ;

7) , ; 8)  9)  10)  11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .