Дифференциальное уравнение конвективного теплообмена.

Выделим в установившемся потоке жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Пусть плотность жидкости, коэффициент удельной теплоемкости и теплопроводности – постоянные. Температура жидкости изменяется вдоль грани параллелепипеда. Проекция скорости движения жидкости (ω) на ось координат составляет вдоль оси х, т.е. через грань dydz за время dτ поступает в параллелепипед количество тепла в ходе конвективного т/о:

Q_x = ρω_х dydz с_рt dτ

Количество тепла, удаляющегося путем конвекции за то же время через противоположную грань параллелепипеда, равно:

Q_x+dx = Q_x + dQ_x =

= ρω₂ dydz c_pt dτ +

+ с_р[ dx] dydzdτ =

= ρω₂ dydz c_pt dτ +

 

+ с_р [ ] dxdydzdτ.

Тогда разность между количеством поступающим и удаляющимся из него в направлении оси х составит:

dQ_x = Q_x - Q_x+dx =

= - с_р[t ] dxdydzdτ

Аналогично в направлении осей y и z:

dQ_y =

= -с_р[t ] dxdydzdτ

dQ_z =

= -с_р[t ] dxdydzdτ

Общее количество тепла, подведенное конвекцией в параллелепипед за время dτ:

dQ_конв = dQ_x + dQ_y + dQ_z =

= - c_p dxdydzdτ

Согласно дифференциальному уравнению неразрывности потока при ρ = const выражение, стоящее в [ ] = 0, т.е. дивергенция скорости = 0, а dxdydz = объему параллелепипеда. Следовательно, конвективная составляющая теплового потока имеет вид:

dQ_конв =

= -ρc_p () dVdτ

Количество тепла, внесенного в параллелепипед путем теплопроводности за время dτ составляет: dQ_тепл =

= λ ( + + ) dVdτ

Суммарное количество тепла, подводимое конвекцией теплопроводностью, составляет:

dQ_конв + dQ_тепл =

= - ρc_p () dVdτ +

+ λ ( + + ) dVdτ =

= ρc_p dV dτ

Суммарное количество тепла равно соответствующему изменению энтальпии параллелепипеда:

dQ_∑ = ρc_p dV dτ – уравнение энтальпии. Отсюда после сокращений и преобразований получим:

+ = а ( + + )

- уравнение Фурье – Кирхгоффа. Оно выражает в наиболее общем виде распределение температур в движущейся жидкости.

 

Тепловые подобия.

Из уравнения Фурье – Кирхгоффа следует, что температурное поле является функцией различных переменных, в том числе в движущейся жидкости, плотности жидкости и скорости. Для практического использования уравнения Фурье – Кирхгоффа подобно преобразовывают с условием однозначности, т.е. представляют в виде функции от критериев подобия. Рассмотрим первоначально подобие граничных условий. Как указывалось при турбулентном движении жидкости границ теплового потока, т.е. в непосредственной близости от твердой стенки передается теплопроводностью через пограничный слой в направлении, перпендикулярном направлению движения потока. Следовательно, по закону Фурье количество тепла, проходящего в пограничном слое толщиной δ через площадь dF за время dτ составляет:

dQ = -λ dFdτ (1)

Количество тепла, проходящее от стенки в ядро потока по уравнению теплоотдачи:

dQ = α (t_ст – t_ж) dFdτ (2)

При установившемся процессе теплообмена количество тепла, проходящего через пограничный слой и ядро потока равны. Поэтому, приравнивая уравнения (1) и (2) и сокращая подобные члены, получим:

-λ  = α ∆t

Для подобного преобразования этого уравнения разделим его правую часть на левую и отбросим знаки математических операторов. При этом величину ∆ заменим размером ℓ, тогда получим безразмерный комплекс величин:

αℓ/λ = Nu – критерий Нуссельт, характеризует подобие процессов теплопереноса на границе между стенкой и потоком жидкости.

Рассмотрим условие подобия в ядре потока. Используем подобные преобразования в уравнении Фурье – Кирхгоффа. В левой его части сумма членов, отражающих влияние скорости потока на теплообмен, может быть заменена величиной:

~ (t / ℓ) ω,

где ℓ - определяющий линейный размер. В правой стороне уравнения Н – К, характеризующей перенос тепла путем теплопроводности, заменим также величиной:

а ~ at / ℓ²

Выражение  отражает процесс неустановившегося теплообмена, может быть заменен на ~ t/τ, т.е.

~ t/τ.

Выразим все члены уравнения Ф – К в относительных единицах, приняв за масштаб количество тепла, передаваемое путем теплопроводности.

Разделим и заменим на обратную величину с тем, чтобы в расчетах не оперировать дробными числами: = F₀ – критерий Фурье, указывает на два неустановившихся тепловых процесса.

Разделим  - критерий Пекле – указывает на интенсивность передачи тепла за счет конвекции и теплопроводности. Может быть представлен как произведение двух безразмерных комплексов:

Ре =

Pr =  - критерий Прандтля – характеризует подобие физических свойств теплоносителей в процессах конвективного теплообмена.

При теплоотдаче в естественных условиях в число определяющих критериев должен войти критерий Фруда, отражающий действие сил тяжести в подобных процессах. Однако в виду трудности определения скорости в естественных условиях критерий Фруда целесообразно на для данных условий на производственный критерий Архимеда:

Ar =

Если неподвижная жидкость нагревается в аппарате без предварительного перемешивания, то для двух частиц, находящихся на противоположных сторонах стенки, через которую передается тепло с t > t₀, ρ > ρ₀, ρ = ρ₀ - ρ₀β(t - t₀). Следовательно, зависимость между движущей силой и естественной конвекцией определяется разностью плотностей, и ее выражение имеет вид через разность температур:

∆ρ = ρ₀β ∆t

и подставим это выражение в критерий Архимеда:

= Gr – критерий Грасгофа

∆t – это разность температур между стенкой и жидкостью;

ℓ - определяющий размер.

Критерий Грасгофа показывает отношение сил трения к подъемной силе, определяемой разностью плотностей в разных точках неизотермического потока.

 

 

Теплопередачи.

Определим количество тепла, которое передается в единицу времени от более нагретой среды с температурой t₁ к менее нагретой среде теплоносителю с температурой t₂ через разделяющую их стенку.

 

 

Стенка состоит из двух слоев с различной теплопроводностью: из собственной стенки толщиной δ₁ и теплопроводностью λ₁, и из слоя тепловой изоляции толщиной δ₂ и коэффициентом теплопроводности λ₂. Рабочая поверхность стенки F. Процесс теплообмена установившийся. Следовательно, от более нагретой среды к стенке, сквозь стенку и от стенки к менее нагретой среде за одно тоже время передается одно и тоже количество тепла. Количество тепла, передаваемое за время τ от более нагретой среды к стенке по уравнению теплоотдачи составляет:

Q′ = α₁Fτ (t₁ – t_ст1)

Количество тепла, проходимого через слой стенки путем теплопроводности равно:

Q′ =  Fτ (t_ст1 – t′_ст)

Q′ =  Fτ (t′_ст – t_ст2)

Количество тепла, отдаваемого стенкой менее нагретой стене, составляет:

Q′ = α₂Fτ (t_ст –t₂)

Полученные выражения могут быть представлены в виде:

Q′ = Fτ (t₁ – t_ст1)

+ Q′ = Fτ (t_ст1 – t′_ст)

+ Q′  = Fτ (t′_ст – t_ст2)

+ Q′ = Fτ (t_ст2 – t₂)

Сложив эти уравнения, получим:

Q′ ( + + + ) =

= Fτ (t₁ – t₂)

Отсюда:

Q′ =  Fτ (t₁ – t₂)

К =  - коэффициент теплопередачи

 - термическое сопротивление стенки;

1/к – сопротивление теплопередаче;

к – показывает, какое количество тепла передается, переходит в единицу времени от более к менее нагретому теплоносителю через разделяющую стенку поверхностью 1 м² при разности температур между теплоносителями 1К.