Система уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа

    Система уравнений, описывающая движение газа или жидкости основывается на законах сохранения (массы, импульса, энергии).

    1. Закон сохранения масс. Уравнение неразрывности.

                                                                                       (1)

    2. Закон сохранения импульса. Уравнение движения.

, где -поверхностные силы, -объемные силы.

 – плотность поверхностных сил.

                                                   (2)

    3. Уравнение энергии (закон сохранения энергии).

Используем первый закон термодинамики:

, где  – внутренняя энергия, – давление, – энтропия.

 – полная энергия

                            (3)

 – величина теплового потока.

 – внешние источники.

,  – коэффициент теплопроводности.

    Система уравнений (1) – (3) неполная. Термодинамическое равновесие описывается пятью функциями: .

Поэтому добавляем уравнения состояний.

, ,                                  (4)

, ,                                    (5)

, ,                                     (6)

 – используется наиболее часто.

.

,  – тензор скоростей деформации,

 – статистическое давление,

 – вязкости,

 – единичный тензор.

.

Для воды: , для воздуха: .

Можно записать полную систему уравнений Навье-Стокса в векторной дивергентной форме:

,                                (8)

 – вектор состояния потока.

Если , то

; ; .

.

    В уравнении (8) использовано расщепление по пространственным переменным (направлениям).

    Расщепление по физическим переменным:

.

    Можно выделить 3 различных физических процесса, в зависимости от действия гидродинамических сил, которые порождаются пространственными градиентами векторов гидродинамических потоков:

.   

Тогда при расщеплении получим:

.

.

1) Конвективная матрица (матрица инерциальных сил).

.

Выпишем систему уравнений, в которой мы пренебрегаем силами, связанными с давлением и диссипативными эффектами. Вектор массовых сил:

.

.

Эта система описывает слабомолекулярное течение жидкости или газа и имеет гиперболический характер.

Рассмотрим первые четыре уравнения системы (уравнение неразрывности и три уравнения движения). Начнем с уравнений движения (2) – (4):

                       (*)

Из уравнения неразрывности (1) следует:

                                                       (**)

    Из уравнений (*) – (**), получим:

.

Таким образом, скорость не зависит от времени.

2. Если в исходной системе (1) пренебречь силами, связанными с инерцией и диссипацией, а рассмотреть только действие сил, связанных с давлением, то получим:

Видно, что плотность не зависит от времени, поэтому ее можно вынести за знак производной.

 

.

.

 => .

.

    Воспользуемся уравнением состояния .

.

        

Выразим частные производные скорости по координатам через производную давления по времени:

.

    Дифференциальным следствием этого уравнения будет уравнение

    Из уравнения движения:

.

.

    Так как  и  полученное уравнение является уравнением гиперболического типа. То есть в этом случае система также носит гиперболический характер.

    3) Учитываются только силы диссипации

    В этом случае, как и в двух предыдущих, .

    После преобразований имеем:

    Получили систему параболического типа (появляется вязкость).

    Рассмотрены три простейших физических процесса. Для получения более сложных, будем рассматривать комбинации простейших процессов, например уравнения газовой динамики.